発振回路について教えてください。（基礎問題）

質問

発振回路は、増幅回路Aと帰還回路βでできているとします。

Aβは複素数だそうです。それは何故でしょうか？　コイルかコンデンサが含まれているからでしょうか？
Aβ＝r(cosφ+jsinφ）と表せるそうですが、何故、cosのほうはjがつかず、sinのほうはjがついているのでしょうか？

β倍された信号の位相がゼロだと増幅に成功で、それが第一条件で（このとき、φ＝０）
ループした信号が元の信号より一倍以上が第二条件だということです。

出力がある程度大きくなると（飽和すると）、rが下がって（ここも質問ですが、r=|Aβ|だそうですが、何故、絶対値で囲うんでしょうか？）、r=1、φ＝０の状態で安定するということです。　
r=1、φ=0の状態は、位相が0だから安定して増幅しているという事でしょうか？

色々と分からないです。
ネットを調べますが、どこもレベルが高いです。教科書を読んでいますが、これ以上の説明をしてくれていません。
分かりやすく。教えてほしいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

High_Score · ベストアンサー

そうです。複素数なのはコイルやコンデンサを含むからです、発振周波数以外では。
Aβ＝r(cosφ+jsinφ）
この式は「Aβは複素数である」を数式で表現しているだけです。ｒとφは実数、ｊは虚数単位であり、これらを用いて任意の複素数はr(cosφ+jsinφ）で表すことが出来ます。(
大抵の場合ｒ≧0)

複素数は実数部と虚数部よりなり、
複素数＝実数部＋ｊ虚数部
で表されます。ｊは虚数単位と呼ばれｊ^2=-1という性質があります。上式では
実数部＝rcosφ
虚数部＝rsinφ

実は、複素数では大きい小さいの比較が出来ません。比較しようとすると矛盾が生じます。ただし、√{実数部^2+虚数部^2}を絶対値とすると、これは複素数の大きさに相当するもので実数なので、大きい小さいを議論出来ます。複素数ｚの絶対値は｜ｚ｜で表現します。上式の任意の複素数r(cosφ+jsinφ）の絶対値を求めると、実はｒになります。

以上は数学の話です。

発振条件
発振器は、位相条件と振幅条件の２つを同時に満たす周波数で発振します。平たく説明すると、
位相条件　
電圧が周期的に変動し増幅器Aの入力でプラス方向に増加する瞬間に帰還回路を経由して帰還された電圧もプラス方向に増加すれば、帰還された電圧は入力を補強しどんどん出力は大きくなります。ところが、増幅器の入力は増加してるのに帰還回路出力は減少ｓていると、互いに打消しあって出力は増加しません。位相がぴったり合う必要があります。

振幅条件
増幅器の出力を入力に帰還させてそれを増幅すれば、さらに出力は大きくなりまたそれを帰還させ、、、、どんどん出力が大きくなります。これが発振です。ところが、帰還回路の損失が大きく、ちょっとしか帰還出来ないと、どんどん大きくならず小さくなります。増幅率が損失に打ち勝つ必要があるのです。これが振幅条件です。

これら発振条件は複素数で表現するとAβ≧１です。本来複素数ですが、発振周波数においては実数になります。

さて、最後にｒが下がる話ですが、
実際増幅回路ではトランジスタを使うなり色々でしょうが、どんな増幅回路でも無限に大きな電圧を扱えるわけではなく、必ず限度があります。どんどん出力が大きくなり（Aβ＞１）限界が近づくと、増幅率が下がってきます。最後にAβ＝１となり安定します。逆に言うと出力電圧はAβ＝１の時の電圧です。

お礼

ありがとうございました。
すごく分かりやすくて、理解するきっかけを得た気がします。
これからも一生懸命勉強したいです。

回答No.2

bogen555

> 何故、cosのほうはjがつかず、sinのほうはjがついているのでしょうか？
それは、オイラーの公式に合わせているからです。
オイラーの公式は
exp(±jφ)=cosφ±jsinφ
です。
疑問は初歩的な数学知識に欠けるところから出ているようです。
この本を読んでみたらどうでしょうか？
「オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ」
http://www.amazon.co.jp/dp/448601863X
同じ著者のこの本は中学生でも複素数がわかるように書かれていて、更にやさしくなっています。
「虚数の情緒―中学生からの全方位独学法」
http://www.amazon.co.jp/dp/4486014855

お礼

ありがとうございました。
「虚数の情緒―中学生からの全方位独学法」のほうに興味を持ちました。
複素数は難しそうですが、頑張りたいです。