センター物理 モーメントの問題
- 一様な細い金属線を折り曲げて直角三角形の枠を作り、その重心のx座標は？
- 別解1では枠の各辺にはたらく重力によるモーメントの和が合力によるモーメントの和と等しいことを利用して計算します。
- 別解2では辺OAと辺OBのそれぞれの重心の座標から、全体の重心のx座標を求めます。
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センター物理 モーメント
一様な細い金属線を折り曲げて辺の長さがa,a,√2aとなる直角三角形の枠をつくり、図2のように角90°の頂点を原点とし、長さaの二つの辺に沿ってx軸とy軸をとった、この枠の重心のx座標はいくらか 別解1 平面x-yを水平面にとって、y軸のまわりの重力によるモーメントを考える、枠の各辺にはたらく重力によるモーメントの和=合力によるモーメントであるから (m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2よってx=√2a/4 別解2 辺OAと辺OBのそれぞれの重心の座標より、辺OAと辺OBをあわせたものの重心の座標は(a/4,a/4)となる、2物体からなる物体の重心は各物体の重心の間を質量の逆比に内分する点であるから、全体の重心のx座標はx=a/4+√2m/(2m+√2m)×(a/2-a/4)=√2a/4 別解1の重力によるモーメントの和＝合力によるモーメントの和というのが何故成り立つのか分かりません、(m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2の式も何故成り立つのか分かりません 別解2は辺OAとOBをあわせた物の重心の座標が(a/4,a/4)となるのが分かりません その結果全体の重心がx=a/4+√2m/(2m+√2m)×(a/2-a/4)=√2a/4となるのも分かりません
- arutemawepon
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質問者が選んだベストアンサー
>質量の逆比に内分する点 これをくり返し適用するのが別解2です。 質量の逆比に内分する点は2体の加重平均と同等。 でも加重平均は3体以上でも使えて、式も美しい ですが、逆比は2体ずつ処理しなきゃいけない のでめんどう。参考に知っておく程度で充分です。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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＞結局この逆比で考える考え方は合ってるんですよね？ ベクトルの「加重平均」で理解してほしいですね。 n個の物体の重心位置が ri (i = 1 ～n)、質量が mi(i = 1 ～n)なら 全体の重心位置は (Σ[i=1～n]ri・mi)/(Σ[i=1～n]mi) #riは位置ベクトルです。 覚えておくべきことはこれだけです。 ＃問題そのまんまですが、教科書に載っていたはず。
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加重平均の考え方が別解1の左辺の考え方ですよね？ 結局重心を求めるとき、2物体の重心を求めるときは2物体の重心のx座標の間を2物体の質量の逆比に内分する点がその2物体の重心のx座標って事ですよね？
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
別解２で逆比が出てくるが、これは別解１のように立式をしたうえで それを解くという途中の過程を省略しているだけで、特別に異なること をやっている訳ではない。別解１と２の相違点は逆比が出てくるかどうか ではなく、モーメントの基準を決めたうえで立式してそれを解くか、 物体の対称性を利用するかの違いだと理解すべきだ。逆比で覚えたいなら 止めはしないが、その根底にはきちんと立式をする過程が含まれている ことを理解しておくべきだ。 ＞結局2点間の重心の位置は2点間を質量の逆比に内分する点なんですよね？ ＞だからまずOAとOBのx座標をOAとOBの質量の逆比に内分する点を求めて、 ＞そのx座標とABの重心のx座標の2点間をOAとOBの質量の和とABの質量の ＞逆比に内分するx座標が全体の重心のx座標という事ですよね？ そう考えるのならまずはきちんと立式してそれを解き、それが逆比に従うか どうか自分の手で確認しな。その結果が問題の回答と合い、かつ逆比に従う のであれば上記の考えは正しいということだろう。
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結局この逆比で考える考え方は合ってるんですよね？
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
そうだ、肝心なことをいい忘れていた。まあ普通の理解力がある者にとっては こんなことは完全に蛇足なのだが。 辺ABの中点と点Oを結ぶ直線、つまり今まで直線（エ）と呼んできたものは この直角二等辺三角形の枠の対称軸だ。 従って ・この枠全体の重心 ・辺ABの重心 ・辺OAとOBのみを考えた場合の重心 はいずれも直線（エ）上にある。
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結局2点間の重心の位置は2点間を質量の逆比に内分する点なんですよね？だからまずOAとOBのx座標をOAとOBの質量の逆比に内分する点を求めて、そのx座標とABの重心のx座標の2点間をOAとOBの質量の和とABの質量の逆比に内分するx座標が全体の重心のx座標という事ですよね？
- gohtraw
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＞長方形の場合は分かりますが、この場合３角形の棒の質量が異なるので ＞重心が何でウやエで求まるのか分かりません 別解２をきちんと読もうか。別解２は （１）まずOAとOBだけを考えてこの二つを合わせた重心を求める （２）上記で求めた重心と、ABの重心とで全体の重心を求める というステップを踏んでいる。 そして私が言っているのは （ウ）辺OAの中点と辺OBの中点を結ぶ直線 （エ）辺ABの中点と点Oを結ぶ直線 から上記の（１）ができるということだ。その手順はNo８で説明した。 （１）が済んだら今度は（２）だ。直線（エ）上に、ある距離をおいてｍおよび ｍ√２の質量がある状態を考えればいい。どこでもいいから（例えば 点O)をモーメントの基準としてモーメントの和を求める（別解１のような 立式をする）。
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結局2点間の重心の位置は2点間を質量の逆比に内分する点なんですよね？だからまずOAとOBのx座標をOAとOBの質量の逆比に内分する点を求めて、そのx座標とABの重心のx座標の2点間をOAとOBの質量の和とABの質量の逆比に内分するx座標が全体の重心のx座標という事ですよね？
- gohtraw
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しまった。対象ではなく対称だ。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
＞OAやOBの中心は分かりますが、何でこの2つをあわせた中心がウやエで求まるんですか？ 例えば密度も厚さも均一な、長方形の板状の物体の重心はどこにある？ この長方形をABCDとすると下記の二つの直線の交点が重心だろ？ （１）ABの中点とCDの中点を結んだ直線 （２）BCの中点とDAの中点を結んだ直線 この二つの直線は、長方形の対象軸だ。対象軸のある物体の場合、対象軸からLの距離に質量Mが 存在したとすると、対象軸に対して反対側にも必ずLの距離に質量Mが存在する。それが対象性と いうことだ。この二点だけに関する重心は二点の中点、つまり対象軸上となる。対象軸の片側の あらゆる点についてこのことが成り立つので、物体全体の重心も対象軸上にある。 ＊上記の距離Lというのは、ある点から対象軸におろした垂線の長さということに注意。 で、OAおよびOBの中点にそれぞれ質量ｍがあったとすると、これは質量を無視出来る棒の両端に それぞれ質量ｍの重りが付いていて、全体としての重心はどこかという話になる。上記の対称性 から考えると明らかに棒の中点だろ？
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長方形の場合は分かりますが、この場合３角形の棒の質量が異なるので重心が何でウやエで求まるのか分かりません
- gohtraw
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＞だから10×100＋20×100=3000が左回りのモーメントですね 別解１の右辺もそれと同じことをやっているだけなのだが？ (m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2 そして全ての質量が重心に集中していると考え、モーメントの基準 から重心までの距離をｘとして左辺を立式しているのだが？
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なるほど、y軸から全体の重心の位置のx座標までの距離をxとしたわけですね、これが左辺で 右辺はそれぞれの棒の重心とy軸からの距離をモーメントで考えたってわけですね
- gohtraw
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＞何でxで統一しているんですか？ ｘが何であるかの説明もしたのだが、読めていないのだね。 別解１の式 (m+m+√2m)gx=mg×a/2+mg×0+√2mg×a/2 の右辺は何だ？ ＞OAとOBをあわせた重心が何で・・・ 三角形OABの対称性を考えれば（エ）は明らかだろう。 対象軸を有する物体の重心はその軸上にあるということだ。 その密度が均一であるという条件は必要だが。 辺OAだって、その対象軸がOAの中点を通っているから 重心と中点が一致している。 そして辺OAおよびOBの質量がそれぞれOAの中点、および OBの中点に集中していると考えれば（ウ）も明らか。
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>右辺は何だ？ 3本の棒の重さと重心のx座標の積です、これは何を表しているんですか？ >OBの中点に集中していると考えれば（ウ）も明らか。 OAやOBの中心は分かりますが、何でこの2つをあわせた中心がウやエで求まるんですか？
- gohtraw
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＞支点からの距離が10ｃｍで100と20ｃｍで200とある 誰がそんなことを書いたのかな？
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>天秤の片側には支点から１０ｃｍのところに１００ｇ、２０ｃｍのところに >１００ｇの重りが下がってい だから10×100＋20×100=3000が左回りのモーメントですね、右回りも同じ値にするために 200×x=3000で15ですね、支点から15cmの所ですね
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
＞支点から25ｃｍの所 ブッブー。不正解。 別解１のように Σ（重りの質量＊支点からの距離） を計算してみな。そしてその結果を２００（ｇ）で割ってみな。
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モーメントのつりあいでやったんですが、支点からの距離が10ｃｍで100と20ｃｍで200とあるので左回りのモーメントは10×100+20×200=5000ですよね、それにつりあうように 右回りのモーメントを200×xで出して5000になるようにすると25と出たんですが、何が駄目なんですか？
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