因数分解の代入

質問

因数分解の代入の答えが合いません。
どこが間違ってるか分からないので教えて欲しいです。

a＝√2分の√5－√3　b＝√2分の√5＋√3のとき、次の問に答えよ。

（問）a^4－b^4の値を求めよ。
という問題です。

私が計算すると、
a^4－b^4
＝（a^2＋b^2）（a＋b）（a－b）
＝（1＋4）（√10）（－√6）
＝5×√60
＝10√15

になります。
答えは、－16√15です。
どこが間違っているのでしょうか？

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

>a＝√2分の√5－√3　b＝√2分の√5＋√3のとき、次の問に答えよ。
>（問）a^4－b^4の値を求めよ。

a=(√5-√3)/√2、b=(√5+√3)/√2

a+b=(√5-√3)/√2+(√5+√3)/√2=2√5/√2=√2√5（=√10、まだ計算しないほうがよい）

a-b=(√5-√3)/√2-(√5-√3)/√2=-2√3/√2=-√2√3（-=√6、まだ計算しないほうがよい）

a^2+b^2={(√5-√3)/√2}^2+{(√5+√3)/√2}^2
={(5-2√5√3+3)+(5+2√5√3+3)}/2　←分子の2乗のカッコを展開、分母は√2の2乗で2
=(5+3+5+3)/2　←√のついた項はプラスマイナスで打ち消される
=8（≠1+4）

∴a^4－b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)
=8×√2√5×(-√2√3)
=8×√2×√2×√5×(-√3)
=-8×2×√5×√3)
=-16√15

　お示しの計算で、

>＝（1＋4）（√10）（－√6）

の「（1＋4）」がどうして出て来たか、ちょっと分かりません。これは、どのように計算したものでしょうか？

お礼

（1＋4）は、計算ミスでした。
詳しいご回答ありがとうございました！

回答No.4

watecolor1969

#3です。
再追記

すいません。最後の行がコピペミスでモレました。

= -8√60

= -16√15

お礼

楽な計算方法まで教えてくださり、ありがとうございました。
理解できました！

回答No.3

watecolor1969

追記

あまり差はありませんが
以下の方が若干計算が楽かもしれません。

a^4-b^4

= (a^2 + b^2) (a + b) (a - b)

= {(a + b)^2 - 2ab} (a + b) (a - b)

= [(√10)^2 - {2*(5-3)/2}] (√10) (-√6)

= (10-2) (√10) (-√6)

= -8√60

回答No.1

watecolor1969

a^4-b^4

= (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)

= (4+4)(√10)(-√6)

= -8√60

= -16√15

が正解です。

よって、a^2が計算間違えです。

a^2 + b^2
= (8 - 2√15)/2 + (8 + 2√15)/2
= 4 - √15 + 4 + √15
= 4 + 4
= 8