因数分解が全くわかりません

質問

僕は今 中１で、塾の問題を解いているんですが、因数分解でわからなくなってしまいました。
解くときにはどういうふうに考えて解けばよいか教えてください。

問題のプリントには、
次の式を因数分解しなさい。
例：4a(x+y)+2b(x+y)=2(x+y)(2a+b)

と、例だけ書いてあって、下に似たような問題が続いています。
例を見てどうやって解くのか色々と考えていたのですが何がなんだかさっぱりで……。

そもそも因数分解ってなんですか？ネットで調べてもよくわかりませんでした。
それと、数字が色々あってどれがどれに対応しているのかわからなくなっています。

文章がまとまっていなくて申し訳ありませんが、教えてもらいたいのは問題の考え方と解き方です。

回答No.6

juck0808 · ベストアンサー

例えば、(2x-3)(x-5)を展開すると、2(x^2)+7x-15となる。
すなわち、2(x^2)+7x-15は2つの整式の積(2x-3)(x-5)で表されます。（^というのは、階乗という意味です。）
このように、与えられた整式をいくつかの整式の積の形に書きあらためることを因数分解すると言います。

因数分解の基本は、共通因数をくくり出すことです。
例えば、8(a^3)(b^4)-4(a^4)(b^2)を因数分解するとします。
まず、共通因数がないか調べます。
この式の場合、2つの項に共通しているのは、4(a^3)(b^2)ですね。なので、これをくくり出すと、4(a^3)(b^2){2(b^2)-a}になり、これが因数分解をした形になります。

まず、共通因数がないか調べてみて、もしあれば、それをくくり出す。そして、利用できる公式を見つけることです。
利用できる公式というのは、(a+b)^2=(a^2)+2ab+(b^2)や(a^2)-(b^2)=(a+b)(a-b)などの公式です。まずは、これらを覚えましょう。

>次の式を因数分解しなさい。
例：4a(x+y)+2b(x+y)=2(x+y)(2a+b)

質問者さんが例として出した問題をやってみます。
4a(x+y)+2b(x+y)で、分かりやすいように、(x+y)をXとおきます。（慣れないうちは、このように、何かに置いたりすると分かりやすいかもしれません。）
すると、4aX+2bXと表せます。まず、共通因数がないか調べます。
この式の場合、共通するのは、2Xですね。2Xをくくり出すと、2X(2a+b)と表せます。
よって、積の形にできたので、因数分解は終わりです。
そして、Xを元に戻してあげると、2(x+y)(2a+b)になります。
これが、答えになります。

私が例と出した問題は基本の因数分解ですが、工夫を要するものや、たすきがけを使ったり、いくつかの文字がある式などまだあります。
組合せなどによって、因数分解できたりできなかったりするので、色々な問題にふれておくといいと思います。

展開はきちんと計算すれば必ずできます。これに対して因数分解はこうすれば必ずできるというやり方がありません。どの公式を使えばよいかを発見するヒラメキが必要になります。ですから、色々な問題にふれて、頑張って下さいね。

お礼

因数分解に“こうすれば解ける”という決まった解法は無いんですね。
僕が理解していないところを的確に説明してくださっているので驚きました。
丁寧でとてもわかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.5

tagussann

因数分解ってのは「積の和」の形を「和の積」の形に直すことです。
あなたの質問にあった例の式で説明すると、
左辺4a(x+y)+2b(x+y)
これは4a(x+y)という掛け算でまとまった項と2b(x+y)という掛け算でまとまった項の和ですので「掛け算でまとまった項の和」→「積の和」ということです。
右辺2(x+y)(2a+b)
これはx+yという足し算の形でまとまったものと2a+bという足し算の形でまとまったものと2という定数の積なので「足し算の形でまとまったものの積」→「和の積」ということです。
話が逸れますが、因数分解による利点は方程式を解いたりする場合に簡単に解けるようになることです。
例として、次のような方程式を解く場合です。
方程式：x^2-5x+6=0を解け
これをそのまま解こうとすると、わけが分からなくなってしまいますね。でもこの式の左辺x^2-5x+6を因数分解して(x-3)(x-2)とすると方程式(x-3)(x-2)=0となります。ここで、「0に何を掛けても0になる」ということを利用します。x-3またはx-2のどちらかを0にすれば自動的に左辺は0になって右辺と一致するので方程式が解けたことになります。つまり、この方程式のxの解はx-3=0になるｘとx-2=0になるxであることが分かります。よってｘの解は３と２です。そのままの式で解くより因数分解したほうがずっと分かりやすいですね。こういうときに因数分解は重宝します。
さて、具体的な解き方を説明します。例にあった式で説明します。まず、4a(x+y)+2b(x+y)にはどちらの項にも(x+y)というのがついています。これをかっこでくくって(整理して)しまいます(分配法則)。そうすると、この式を(x+y)(4a+2b)こんな形に変形できますね。でも、まだかっこでくくることが出来ます。(4a+2b)の4と2を2でくくります。因数分解のコツはくくってかっこをつけられるものはかっこをつけてしまうことです。(4a+2b)→2(2a+b)と変形しました。(x+y)(4a+2b)の(4a+2b)のところにさっきくくった2(2a+b)をいれます。
(x+y)(4a+2b)→(x+y)2(2a+b)とします。このままでは順番がおかしいので2(x+y)(2a+b)と順番を整理します。これで完成です。
因数分解はパズルみたいなもんです。かっこでくくれるものはくくる。
そうすると因数分解がいつの間しか完了しています。

中１で因数分解かぁ・・僕も小６の時におんなじ疑問抱いていましたｗ
（あーだこーだやっててもう中２だ・・・）

お礼

順を追って説明してくださったのでわかりやすかったです。
一気に答えを出そうとしていたのでわからなかったんですね、一つずつパズルみたいに解くことが大切だとわかりました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

chie65536

＞そもそも因数分解ってなんですか？

因数分解とは、数式を「幾つかの数式の積」に変形する事を言います。

例えば、
ax+x⇒x(a+1)　「x」と「a+1」の積になった
ax+bx⇒x(a+b)　「x」と「a+b」の積になった
4ax+2bx⇒2x(2a+b)　「2」と「x」と「2a+b」の積になった
など。

言い方を変えれば「展開の逆」です。

＞教えてもらいたいのは問題の考え方と解き方です。
「共通の項目」を１つにまとめてしまうのが早いでしょう。

例えば、
4a(x+y)+2b(x+y)
の場合「4a(x+y)」にも「2b(x+y)」にも「(x+y)」があります。

なので「(x+y)」を１つにまとめます。「(x+y)」を仮に「Z」に置き換えると
4aZ+2bZ
で、「4」は「2×2」ですから
2×2aZ+2bZ
になり、加算の両辺に「2Z」が居るので、これをまとめます。すると
2Z(2a+b)
になります。

「Z」は「(x+y)」だったので、元に戻します。
2(x+y)(2a+b)
これで、この式は、「2」と「x+y」と「2a+b」の積になったので「因数分解した」と言う事になります。

実際の数値で考えると、慣れると思います。例えば
10+35
を因数分解すると
2×5＋7×5
なので「2×5」と「7×5」で共通の「5」を１つにまとめ
5(2+7)
にします。これで「5」と「2+7」の積になり、因数分解できました。

お礼

10＋35が2×5＋7×5っていうのは参考になりました。
文字に数値を代入するとわかりやすいです。解き方まで教えてくださってありがとうございました。

回答No.3

mu2011

同類項を探し、共通項でまとめ事、後はゲーム感覚で馴れるようにする。
例えば、（x+y)をＺとすれば、4aＺ＋2bＺ→2Ｚ(2a＋b)→2(x+y)(2a＋b)となる。

お礼

あ、(x+y)をひとまとまりにして置き換えたほうがわかりやすいですね

ゲーム感覚ですか～……。慣れるまでひたすら問題を解こうと思います。作業的に解けるようにしたいので
ご回答ありがとうございました

回答No.2

wvYYvw

その式になるまでで説明すると
4a(x+y)+2b(x+y)=(x+y)(x+y)(4a+2b)
(4a+2b)は「4」と「2」なので2で割れますね。つまり2(2a+b)です。
(x+y)(x+y)はまとめて（x+y）になります。
これで2(2a+b)（x+y）＝2(x+y)(2a+b)になります。
まとめると
１,同じ物は一つにまとめる。(x+y)(x+y)を一つに
２,割れる場合は割る。(4a+2b),(ｚ+x)(z+y)この場合はz(x+y)になります。
なんかごちゃごちゃですが考え方としてはこんな感じです。わかりにくいですよね(＾＾;)

お礼

いえいえ、わかりやすいですよ
(4a+2b)がどうして2(2a+b)になるのかわかってなかったので（汗
答えを出すまでの過程がわかって良かったです
ご回答ありがとうございました

回答No.1

noname#62801

因数は大辞林によると
一つの数や整式が、いくつかの数や整式の積の形で表されるときの、その個々の数や整式のこと

ということで因数分解は式を積の形にあらわすことです
4a(x+y)+2b(x+y)も2(x+y)(2a+b)も括弧をはずし計算すれば
どちらも4ax+4ay+2bx+2byとなり同じものとなるのはわかるでしょ？
4ax+4ay+2bx+2byではのちのち困るので積の形に変形しておくのです
のちのちってのはのちのちです

お礼

因数分解ってそういうことだったんですね、問題のプリントに「次の式を因数分解しなさい」と書かれていてわけがわかんなくなったので助かります。 例の式を使って説明していただいてわかりやすかったです、ご回答ありがとうございました。