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3重積分の問題を教えて下さい

∫∫∫V xydxdydz、 V={(x,y,z):x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0} という問題です。お願いいたします

noname#246158
noname#246158
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V={(x,y,z):x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0} M=∫…
普通に逐次積分すればいいだけですが、何がわからないのですか？

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V={(x,y,z):x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0} M=∫∫∫[V] xydxdydz 逐次積分に直すと =∫[0,1]xdx∫[0,1-x]ydy∫[z:0,1-x-y] 1dz x,yを固定した状態でzについて積分 =∫[0,1]xdx∫[0,1-x] (1-x-y)ydy xを固定した状態でyについて積分 =∫[0,1]xdx[(1-x)(1/2)y^2-(1/3)y^3][y:0,1-x] =∫[0,1] x{(1/2)(1-x)^3-(1/3)(1-x)^3}dx =∫[0,1] x(1/6)(1-x)^3 dx =(-1/6)∫[0,1] x(x-1)^3 dx 部分積分して =-(1/6)[x(1/4)(x-1)^4-∫(1/4)(x-1)^4 dx][0,1] =-(1/6)(1/4)[x(x-1)^4-(1/5)(x-1)^5][0,1] =-(1/24){0-(1/5)} =1/120 ... (答)

noname#246158
質問者

お礼

有難うございます。 よくわかりました。 本当にありがとうございます

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noname#202527
noname#202527
回答No.1

普通に逐次積分すればいいだけですが、何がわからないのですか？

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