3重積分の問題を教えて下さい

質問

∫∫∫V xydxdydz、
V={(x,y,z):x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0}
という問題です。お願いいたします

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

V={(x,y,z):x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0}
M=∫∫∫[V] xydxdydz
逐次積分に直すと
=∫[0,1]xdx∫[0,1-x]ydy∫[z:0,1-x-y] 1dz
x,yを固定した状態でzについて積分
=∫[0,1]xdx∫[0,1-x] (1-x-y)ydy
xを固定した状態でyについて積分
=∫[0,1]xdx[(1-x)(1/2)y^2-(1/3)y^3][y:0,1-x]
=∫[0,1] x{(1/2)(1-x)^3-(1/3)(1-x)^3}dx
=∫[0,1] x(1/6)(1-x)^3 dx
=(-1/6)∫[0,1] x(x-1)^3 dx
部分積分して
=-(1/6)[x(1/4)(x-1)^4-∫(1/4)(x-1)^4 dx][0,1]
=-(1/6)(1/4)[x(x-1)^4-(1/5)(x-1)^5][0,1]
=-(1/24){0-(1/5)}
=1/120 ... (答)

お礼

有難うございます。
よくわかりました。
本当にありがとうございます

回答No.1

noname#202527

普通に逐次積分すればいいだけですが、何がわからないのですか？