実数解を持つということ

質問

（１）XsinX－cosX＝0 (0,π/2)
（２）２＾X＋２＾-X＝３X（０，１）
これらが、示された区間で実数解を持つことを証明せよというのが、どうやってとくのかよく分からないのですが。

普通に微分して増減表を書きX軸と交わることを書けばそれでいいのでしょうか。

回答No.2

akn1aj · ベストアンサー

＞…普通に微分して増減表を書きX軸と交わることを書けばそれでいいのでしょうか。
グラフを描けば許容されますが、厳密にいうと不十分です。これは「中間値の定理」を適用するのです。

(1) f（ｘ）＝xsinx－cosx　 (0,π/2)
f(0) = -1＜0, f(π/2) = π/2＞0。f(x)は区間(0,π/2)で連続だから｛←これをいう｝
中間値の定理より｛←これをいう｝、区間(0,π/2)で少なくともひとつ実数解を持つ。
｛なお、f'（ｘ）＝2sinx－xcosx　= 2cosx(tanx - x/2)＞0となり区間(0,π/2)で単調増加なので、実は区間(0,π/2)で唯ひとつ実数解を持つ；となります。これは、言及しなくてもいいでしょう。｝

(2)g（ｘ）＝2＾x＋2＾(-x)－3x　　（0，1）
g(0) = 2 ＞0, g(1) = -1/2 ＜0 。g(x)は区間(0,1)で連続だから｛←これをいう｝
中間値の定理より｛←これをいう｝、区間(0,1)で少なくともひとつ実数解を持つ。

お礼

丁寧な回答を本当にありがとうございました。とても助かりました。！！！

回答No.1

postro

関数ｆ（ｘ）が連続であることを宣言して、範囲の両端でのｆ（ｘ）の値が正負で分かれることを確かめれば
（その範囲の間でｆ（ｘ）のグラフがｘ軸を横切ったことになり）実数解があるこを証明したことになります。
ｆ（ｘ）＝XsinX－cosX　 (0,π/2)
ｆ（ｘ）＝２＾X＋２＾-X－３X　　（０，１）
としてやってみてください。

お礼

はやい回答をありがとうございました。大変参考になりました。！！！