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三角関数と実数解
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> f(x)=2xsinx-3として、f(0),f(π/2),f(π）の符号からだけ判断することはできるでしょうか？ まずf(x)は連続関数(どこかで値が飛んだりしない)のは明らかですよね あと、お考えの通り、f(0),f(π/2),f(π)の符号から、[0,π/2]と[π/2,π]の間でそれぞれ解を最低1つは持つことがわかります ただ、それが1つずつと証明するのがちょっと難しいんですよね 符号が変わるとどこかでx軸と交わる(=解を持つ)と言えるのですが....... 例えば微分して単調増加関数/単調減少関数と言えれば1つと言えますが、区間内で増加/減少を繰り返している関数だと複数解を持つ可能性があるわけで、それがないと証明するのがちょっと難しいんです あとは、No.4のかたが書かれているように、（2/3)*sinx＝1/xとしてそれぞれy=(2/3)*sinxとy=1/xのグラフを大まかに書いて、 x→0のとき、1/xのグラフのほうが上にある x=π/2のとき、（2/3）*sinxのほうが上にある (2/3 ＞ 2/π) x=πのとき、1/xのグラフのほうが上にある と言うことから、このグラフは[0,π/2]と[π/2,π]でそれぞれ1点ずつで交わるので解を2つ持つ、と言えるかなぁという感じです (y=sinxのグラフって数IIIじゃないと書けないんでしたっけ?) 基本のアプローチとしては、連続関数で途中で符号が変わる→その区間で解を持つ、でいいとは思うんですが............ 何を使っていいのかで回答も変わってきますね ＃解き方が1つと限らないところがおもしろさを感じませんか?
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- take_5
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＞2xsinx=3 区間が[0,π]です。 厳密に証明するには、数IIIまでの知識が必要。 変形して、（2/3）*sinx＝1/xとしてグラフを考えても良いが、そのグラフも困難。 やはり、数IIIまでの知識が必要。数IIIがわかるんだろうか？
補足
数IIIを使うとしたら、三角関数の微分ということだと思うのですが、 この問題は、微分を使わずに示すことが前提になっているようなのです。たとえば、f(x)=2xsinx-3として、 f(0),f(π/2),f(π）の符号からだけ判断することはできるでしょうか？
- 774danger
- ベストアンサー率53% (1010/1877)
実数解を2つ以上持つことを示すのは非常に簡単なのですが、「2つ」となるとちょっと面倒かもしれません ちなみに、三角関数の微分はできる(習っている)かたですか?
- 774danger
- ベストアンサー率53% (1010/1877)
2xsinx-6=0 xsinx-3=0と変形して、f(x)=xsinx-3と置いてみると、xsinxはこの範囲でどう頑張っても1を超えませんから、f(x)はずっと負のままです 2つどころか1つも解を持ちません No.1のかたも書かれていますが、書き写し間違いか、問題自体が間違っていると思います
- take_5
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＞2xsinx-3=3が[-1,1]の範囲で、2つの実数解をもつことを示せ ＞判別式はどのように用いればよいのでしょうか？ 問題に転記ミスは無いんだろうか？
補足
すみません。転記を間違えてしまいました。 2xsinx=3 区間が[0,π] です。 すみません。よろしくお願いします。
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お礼
回答有難うございました。色々なアプローチが考えられるのですね。 数学は得意ではありませんが、おっしゃるとおり、面白い学問だとおもいます。参考にさせて頂きます。