運動エネルギーと位置エネルギー

質問

ばね振動において運動エネルギーと位置エネルギーのやり取りを次の瞬間ごとに説明お願いします

1.ばねを引っ張って伸ばした(振動開始時)
2.ばねが自然長になった
3.おもりが行き過ぎて停止した(折り返し)
4.おもりが戻ってきてばねが自然長
5.最初のところに戻った

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

ばねを引っ張って伸ばした（あるいは押して縮めた）ときのポテンシャルエネルギーは、ばね定数をｋ、伸ばした（あるいは縮めた）変位をｘとして、

　　　U＝(1/2)・ k・x^2

　従って変位Aのときのポテンシャルエネルギーは。

　　　U＝(1/2)・ k・A^2　　　（１）

これが「１」の状態です。

　ばねに関する「フックの法則」を参照ください。
　　　　↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

　このばねに質量mの物体を付けて、変位をAのところから手を離して、自由振動させたときの変位は、

　　　ｘ＝A・cos(ωt)　　ただし　ω＝√（k/m）

　速度は、これを微分して

　　　ｖ＝dx/dt＝-A・ω・sin(ωt)

　「２」の状態、つまり変位がゼロ（＝自然長）になるのは、ωt＝π/2　のときで、そのときの速度は

　　　ｖ＝-A・ω・sin(π/2)＝-A・ω＝-A・√（k/m）

　従ってそのときの運動エネルギーは。

　　　E＝(1/2)・m・v^2
　　　＝(1/2)・m・A^2・（k/m）
　　　=(1/2)・k・A^2　　　　　　　（２）

　このときｘ＝0なので、ポテンシャルエネルギーはゼロです。

　「３」の状態、つまり調和振動が手を離した反対側（引っ張って離したときは、最も縮んだ時）のときには、ωt＝π　なので

　　　ｘ＝A・cos(π)＝-A

　従ってポテンシャルエネルギーは

　　　U＝(1/2)・ k・A^2　　　（３）

　速度は

　　ｖ＝-A・ω・sin(π)＝0

なので運動エネルギーはゼロです。

　「４」については、、ωt＝3π/2　のときで、そのときのポテンシャルエネルギーはゼロ、速度は

　　　ｖ＝-A・ω・sin(3π/2)＝A・ω＝A・√（k/m）

なので、そのときの運動エネルギーは。

　　　E＝(1/2)・m・v^2
　　　＝(1/2)・m・A^2・（k/m）
　　　=(1/2)・k・A^2　　　　　　　（４）

　「５」の最初のところでは、（１）になります。
（摩擦や空気の抵抗など、ロスがない理想的な状態の場合）

　以上が、「１」～「５」に対する答です。
　つまり、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーが置換されて、「エネルギー保存の法則」が成立している状態です。
　「１」～「５」の途中の状態では、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーがどちらもゼロではなく、合計値が　(1/2)・k・A^2　になっているということです。

お礼

ありがとうございます
助かりました（＾_＾）

回答No.1

foomufoomu

＞ ・・・やり取りを次の瞬間ごとに・・・
瞬間にはやり取りはありませんが。。。
たとえば、１から２までの間のやり取りなら、
＃ 位置エネルギーが減っていき、その分、運動エネルギーが増えていく
という説明ができます。

お礼

ありがとうございました