単振動で、つりあいの位置を基準に取ると、重力による位置エネルギーを無視してよいのはなぜでしょうか？

質問

単振動で、つりあいの位置を基準に取る時は、
ばねによる位置エネルギーと、運動エネルギーだけを考えればよいですが、
重力による位置エネルギーを無視してよいのは何故でしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

これは天井からばねとおもりをつるしたときの運動でしょうか？

バネ定数ｋのばねの上端を固定し、下端に質量ｍのおもりを取り付けたときのおもりの運動を考えるとします。

運動方程式は自然長原点、鉛直下向き正のｙ軸をとって
m*dv/dt=-ky+mg・・・＜１＞
つりあいの位置は0=-ky+mg　∴y=mg/k
このつりあいの位置を原点とする座標軸Ｙをとると
Y=y-mg/kだから（図を描くとわかるかと）
m*dY/dt=-k(y-mg/k)＝-kY・・・＜２＞

エネルギー保存は運動方程式から作れるのですが
＜１＞から
d/dt*(mv^2/2)=d/dt*(-ky^2/2+mgy)
d/dt(mv^2/2+ky^2/2-mgy)=0
mv^2/2 + ky^2/2-mgy＝一定＝Ｅ（定数）
となります。
左辺＝mv^2/2 + (k/2){y^2-(2mgy/k)}
=mv^2/2+(k/2){y-(mg/k)}^2-(mg)^2/2k
=mv^2/2+(k/2)Y^2-(mg)^2/2k

∴mv^2/2+(k/2)Y^2＝Ｅ＋(mg)^2/2k＝一定＝Ｅ´（定数）
となります。
ここでこのＹはつりあいの位置からの変位であってバネの伸びや縮みではないので、(k/2)Y^2はばねの弾性エネルギーと解釈することはできません。
これはバネの弾性エネルギーと、重力による位置エネルギーを両方込みにしたものなのです。

お礼

ありがとうございます！
＞ここでこのＹはつりあいの位置からの変位であってバネの伸びや縮みではないので、(k/2)Y^2はばねの弾性エネルギーと解釈することはできません。

そうなんですね。
けっこう難しい証明ですね(＾＾；
参考にさせていただきます。
ありがとうございました！