弦を伝わる横波の位置エネルギーについて

質問

大学の試験で、

弦の横波の位置エネルギーを求めよ。

というたった１行だけの問題が出題されたのですが、全くわからず、白紙のまま提出してしまいました。。

友だちに聞いてもわからなかったので、どなたかわかる方がいらっしゃいましたら、是非解法及び解答をお教えください。
よろしくお願いいたします。

文字などは自分で定義して解いていかないといけないみたいです。

ばね振動の位置エネルギーと運動エネルギーの関係を連続的に拡張していけばいいみたいなんですが・・・

回答No.4

ojisan7

この回答で最後とさせていただきます。
ちょっと、訂正させていただきます。No2さんの方法では、「全エネルギーが時間に依存せずに一定であることを示すことが難しい」と書きましたが、弦の横波は定常波u=Asin(kx)cos(ωt)になりますよね。これで、計算すれば、全エネルギーは常時一定に保たれます。そうすると、No2さんの方法で良いということになります。ただし、No2さんは「弦が縮むことはない」とおっしゃっていますが、実際は弦が伸び縮みすることによって、全エネルギーが一定に保たれるのです。

>(1/2)*T*(dx/du)^2Δxとなりましたが、正解なんでしょうか。

uは変位ですね。だったら、dx/duが上下反対です。そして偏微分でなければなりません。(1/2)*T*(∂u/∂x)^2Δxとなりますね。これが正しいかどうかは（実際、正しいのですが）、運動エネルギーも計算して、全エネルギーが一定に保たれることを確認して下さい。方法は、定常波の基本振動u=Asin(kx)cos(ωt)の場合について確認すればよいでしょう。

回答No.3

ojisan7

>２時間ほど考えてみましたが

２時間ほど、何を考えましたか。

考え方として、No2さんの方法もあります。この方法では運動エネルギーと位置エネルギーが等しくなります。しかし、それだと、全エネルーが時間の関数として導かれますので、全エネルギーが常に（時間に依存せずに）一定であることを示すことが難しいですね。やはり、考え方の基本は、位置エネルギーが保存力であることを要請するものでなければなりません。ｘ方向の伸びは無視して、dxについてｙ方向の変位のみを考えればいいと思いますが、どうでしょうか。このようにすれば、全エネルギーが常時一定に保たれます。

お礼

ojisan7さんのヒントを参考に計算したところ、
(1/2)*T*(dx/du)^2Δx
となりましたが、正解なんでしょうか。

中間試験の問題だったんで、解答はもらえないみたいです…。よろしくお願いします。

補足

上記の解答は出先から携帯での投稿でしたので、
もう一度最初から計算してみました。

横にx軸、縦にy軸をとり、弦がy軸方向に振動しているとする。

位置エネルギーをU、
弦の張力をS、長さをl、伸びをΔlとすると、
√{(Δx)^2(Δy^2)}より

U=SΔl=S∫[0→l]{√(1+(δy/δx)^2)-1}dx≒S/2∫[0→l](δy/δx)^2dx

以上なんですが、いかかでしょうか。
間違いや補足等あればお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat

弦は振動していないときには、まっすぐ直線だったのが、振動しているってことは、弦が直線以外の形（正弦波など）になっているわけです。ある２点を結ぶ最短の曲線は直線ですから、直線以外の形になっているってことは、弦が伸びたわけです。
弦を伸びせば、位置エネルギーがたまるでしょう。それを求めろ、ってことです。
ただし、弦の伸び方は、場所によって一定ではなくて、微視的に見ると、すごく伸びているところと、あんまり伸びていないところがあるでしょうから（弦なんで縮むことはない）、微小区間ごとに伸びぐあいを考えて位置エネルギーを考えた後、そいつらをみんな足し算（実際には積分しろ）ってことです。

弦の振動を考えるときに、弦の微少区間を考えて、運動方程式を立てたはずです。
そのときに書いた図を見ながら、微小区間での弦の伸びを考えればよいです。

お礼

丁寧な解法、ありがとうございました。
なんとか解けそうなので、頑張ってみます。

回答No.1

ojisan7

そうですね。その関係を連続的に拡張すればいいですね。
ところで、弦の横波の波動方程式は導くことができますね。この方程式の特殊解が正弦波です。また、ばねの単振動の特殊解も正弦波ですよね。この両者を比較すれば何か方向性が見えてくるはず・・・

お礼

丁寧な解法ありがとうございます。
自分でテキストの波動についてのページを２時間ほど考えてみましたが、やはりわかりません。
もしよろしければ、詳しい導き方、解答をお教えいただけませんか？
よろしくお願いいたします。