絶対値記号を含む不等式

質問

|x-1|+|x-2|≦3 という問題で、
解答に、x<1、1≦x<2、2≦xの3つに場合分けすると書かれているのですが、
なぜそのように場合分けされるのか全く分かりません。
また、1≦x<2のように左はしょうなりイコールなのに対し、右はしょうなりなのでしょうか？
別にどっちもしょうなりイコール(もしくはしょうなり)でも良いのでは？と思ってしまいます。

どなたか分かりやすく説明してくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#201036

> なぜそのように場合分けされるのか

絶対値を外したいからです。

　x-1の符号の変わり目はx=1
　x-2の符号の変わり目はx=2

なので、それらで区切られた区間の中ではx-1の符号とx-2の符号がどちらも変わらず、絶対値を外したときの文字式の見た目がそれぞれの区間で同じになるようにできて便利なのです。

> 別にどっちもしょうなりイコール(もしくはしょうなり)でも良いのでは？

場合分けするときは

　・漏れがあってはいけない
　・重複があってはいけない

というのが大原則です。

たとえば

　x<1, 1<x<2, 2<x

のように分けるとx=1やx=2の場合が漏れてしまいますし

　x≦1, 1≦x≦2, 2≦x

のように分けるとx=1やx=2の場合が重複してしまいます。

そういう意味では

　x<1、1≦x<2、2≦x
　x<1、1≦x≦2、2<x
　x≦1、1<x<2、2≦x
　x≦1、1<x≦2、2<x

などという場合分けをしても構いません。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

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|x-1|を含む式はXが1より大きいか、小さいかを別に考えないと答えが出せません。
同じように
|x-2|を含む式はXが2より大きいか、小さいかを別に考えないと答えが出せません。
はわかりますよね。

なので
|x-1|+|x-2| の場合は　すべての数を1と2の二箇所で分けたものを考えないといけません。

でも、x=1のポイントと　X=2のポイントでは双方からの値は同じものとなるので
x<1、1≦x<2、2≦x
と分けても
x≦1、1<x<2、2≦x
と分けても
x≦1、1<x≦2、2<x
と分けても、（もう1パターンあるけど）すべての範囲が入っていれば間違いではありません。

ただし、
x<1、1<x<2、2<x
としてしまうと、X=1のときとX=2のときの答えがないことになってしまうので間違いです。

また、
x≦1、1≦x≦2、2≦x
と分けた場合は、X＝1のときの値が（答えは同じにせよ）二つの式であらわされているので、数学的には間違いではないにせよ、行儀作法がひどく悪いということになります。

お礼

ありがとうございました！