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絶対値記号と不等式
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- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
> #4の方の解答には申し訳ないのですが、間違いがあります： > |x-4|≦3x > ⇔ -3x≦x-4≦3x > これは、x≧0のときに限ります。x＜0の時には言えません。 ３行目の式には，x≧0 が含まれています。 x<0 のときは，２行目も３行目も「偽」です。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
No.3 です。 確かにこの問題の場合、ｘの正負について分ける必要はありません。 ただ単に、「どっちで分けたら良いのか……」で困ってしまうよりは、まず、両方で分けてみたらうまくいく場合も多いということです。 それが、安全な方法かなということで、もちろん、必ずしもエレガントな方法ではありません。
- iwaiwaiwa
- ベストアンサー率18% (25/137)
#1です。気になったことがあるので数点。 #4の方の解答には申し訳ないのですが、間違いがあります： |x-4|≦3x ⇔ -3x≦x-4≦3x これは、x≧0のときに限ります。x＜0の時には言えません。 この問題の場合は、たまたま答えが出ていますが、記述式の 場合は、減点されると思います。 次に#3の方への補足ですが、この問題の場合はx＜0とかx≧0の場合は 考える必要はないと思います。 基本的に、絶対値の付いた部分が正になるか負になるかを場合分け すれば機械的に解けます。グラフを用いた解答は応用です。 ちなみに、数学は数式で表現できないと解いたことになりません。 グラフでこうなっているから正しい…みたいな解答は、厳密には 正しくありません。 それから、本でこうなっていたから…ということですが、 本でも間違いを書いている本はたくさんあります。必ずしも 正解を書いているとは限りません。もっとより良いやり方が ある場合も多いです。 自信を持って頑張ってください。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
No.3 です。 [1] x＜0の時、|x-4|≧0であるから与式は成り立つ この書き方は、なれればそれほど難しくはないのですが、慣れは必要かも。 といっても、補足事項に書かれている点を見ると、ほぼ理解されているようですが。 確かに、絶対値の中身が何であろうとも、絶対値をとれば、０以上になります。ですから、 |x-4|＞3x でなくても、 ｜なんとか｜＞3x という式は、x < 0 の時には、必ず成立します。 ｜なんとか｜は、ゼロ以上だし、３ｘは負ですから。 ですから、気持ちは、 |なんとか｜≧０だから、ｘがマイナスなら、 ｜なんとか｜≧３ｘは成立する といいたいのです。 「なんとか」が具体的に書いてあるだけに過ぎません。
- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
> 「x＜4」と「x≧4」に分けるのも違うし、 > 「x≧0」で分けるのも違うし どころか，どちらでもできます。 |x-4|>3x ⇔ (x-4≧0 かつ x-4>3x) または (x-4<0 かつ -(x-4)>3x) でも |x-4|>3x ⇔ (3x<0) または (3x≧0 かつ (x-4>3x または x-4<-3x)) なお，この問題は否定の |x-4|≦3x の方が簡単に解けるので，その解の否定を答えるという方法もあります。 |x-4|≦3x ⇔ -3x≦x-4≦3x ⇔ -4x≦-4≦2x ⇔ x≧1 かつ -2≦x ⇔ x≧1 ゆえに |x-4|>3x ⇔ x<1 |f(x)|≦g(x) ⇔ -g(x)≦f(x)≦g(x) だからです。
お礼
後半の説明は目から鱗が落ちました。 こういう方法は私の好きな方法です。 質問して良かったと思います。 有難う御座いました。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
かならず、１箇所で分けなければならいということもないので、 ｘ ＜ ０ ０ ≦ ｘ ＜ ４ ４ ≦ ｘ の３つのケースで分ければ安全かなと思います。
補足
参考書のやり方が正にこの方法でした。 しかし、説明が今ひとつ理解できないために私なりの場合分けを行い、混乱し てこうして質問する羽目になった次第です。 参考書の説明は以下の通り [1] x＜0の時、|x-4|≧0であるから与式は成り立つ [2] 0≦x＜4の時、与式から-(x-4)＞3x -4x＞4からx＜1 よって0≦x＜1 [3] 4≦xの時、与式からx-4＞3x ゆえに-2x＞4からx＜-2となり不適 [1]または[2]または[3]からx＜1 ここで、分からないのは[1]の説明です。 「|x-4|≧0」が、絶対値記号が原点からの距離であるため「0以上である」と 言っているらしいことは分かるのです。 ただ、「x＜0のとき」と条件が付いているにも関わらず自明のように導き出さ れる「|x-4|≧0であるから」という理由や、「与式が成り立つ」という結論は どうしても矛盾に思え、納得しかねるのです。また、この説明に右辺の3xが全 く登場しないのも不満です。なぜ[1]のようなことが言えるのですか。 最初からこう質問すれば回りくどくなくて良かったと、少し後悔しています。 当初は参考書の説明を諦めて、自分なりの解決策を得てこの問題は終わりにし ようと思ってここに質問したのでした。しかしどうしても諦めきれず、こうし た事情を告白した上で、再度みなさんの助言を頂きたいです。 宜敷御願い致します。
- y_akkie
- ベストアンサー率31% (53/169)
分かりにくければ、グラフを書けば良いと思います。 まず、f(x) = |x-4|,g(x)=3xとおいて、 f(x)はすなわち、 x≧4 f(x) = x - 4 x＜4 f(x) = 4 - x と定義された関数であると考えて下さい。 y = f(x) y = g(x)のグラフをそれぞれ描きます。 そして、f(x)≧g(x)になるようなxの範囲を求めればよいと思います。 よって、x=4を境にf(x)のグラフの概形が変わるわけですから、「x＜4」と「x≧4」との場合わけで良いと思います。 すなわち、 A:x-4≧3x (x≧4のとき） B:4-x≧3x (x<4のとき) のA,Bの２つの不等式があると思ってください。
- iwaiwaiwa
- ベストアンサー率18% (25/137)
> 絶対値記号の|x-4|から「x＜4」と「x≧4」に分けるのも違うし それでいいと思います。 要は、x-4がx次第でプラスになったり、マイナスになったり する、この2パターンを考えて解けばいいですよ。 ただし、不等式なので、最後に不等号をまとめて答えを出す には、注意してくださいね。
お礼
自信を得て解いてみました。 【x＜4の時】 -(x-4)＞3x -x+4＞3x -4x＞-4 x＜1 ----数直線上のx＜4の範囲とx＜1が重なる部分、即ちx＜1であり、この場合は適当である。 --- 【x≧4の時】 x-4＞3x -2x＞4 x＜-2 ----不適 ∴x＜1 こんな風に出ました。 有難う御座いました。
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