絶対値のついた不等式についてご教示ください。

質問

とある問題集をやっています。
その中に、

不等式　|2x-1| < x　を解け.

という問題があるのですが、その解説で混乱しています。

「絶対値記号を含む不等式であっても,面倒な場合分けをしなくても解ける場合がある.」

とあり、

「一般に　|x| < a ⇔ -a < x < a　が成り立つことを利用する.」

と書いてあります。そして次に、

「ここで　a > 0　でなければなりませんが,この同値の関係を使うときは,それを気にしなくても良いことに注目して下さい.」

と書いてあるですが、ここが気になります。
なぜこの　|x| < a ⇔ -a < x < a　という同値の関係を使うときは、　
a > 0　でなければならないことを気にしなくて良いのでしょうか。
ちなみにこの問題の解は　1/3 < x < 1.　です。

仮に問題が　|2x + 1| < x　だとすると,解は 　x < -1，-1/3 < x となってしまい,　同値の関係を使ったとしても　a > 0　を気にしなければならないと思うのですが。

また、どういった時には面倒な場合分けをしなくても解けるとわかるのでしょうか。
それとも、この解説文は、面倒な場合分けをしなくても同値の関係を利用し解ける問題の場合、a > 0　であることを考慮しなくても良いということを言いたいのでしょうか。

どなたかよろしくお願い致します。乱文申し訳ありません。

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

|2x-1|<xの左辺は絶対値がついていますから非負。それより大きい右辺は正と想定してよい。
よって-x<2x-1<xの連立不等式で解ける，ということでしょうか。
x<|2x-1|だと場合分けがいりますね。
|2x+1|<xの場合ですが，これはx>-1/3かつ x<-1なので解なし。

お礼

分かりやすく言葉で説明してくださってありがとうございます。
なるほど、x<|2x-1|だと場合分けが必要で、|2x+1|<xはやはり解なしになるのですね。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

-a < x < a は、それだけで -a < a すなわち a > 0 を含んでいるのです。

お礼

なるほど。aが負でしたらそうなりませんもんね。
ありがとうございます。

回答No.1

mister_moonlight

0≦|2x-1|< x　だから、x＞0　‥‥(1)
従って、両辺が正から　2乗しても同値。計算すると　(3x-1)*(x-1)＜0　‥‥(2)
あとは、(1)と(2)の共通範囲を求めるだけ。

＞また、どういった時には面倒な場合分けをしなくても解けるとわかるのでしょうか。

この問題のように、両辺が非負のとき　2乗しても同値だから。
そういう場合は　場合わけは不要。

|x| < a　→　0≦|x|<a　従って、書いてなくても　a＞0に　直ぐ気がつかなければならない。

お礼

迅速かつ丁寧な回答をありがとうございました。
世界が広がりました。