絶対値の不等式を解くときに。疑問

質問

こんにちは。
　不等式　|3x-1|<x+7 と解け。
で、場合わけをしてすることは別に問題なのですが、
この手の問題を

　|ｘ|<a 　の解は、　-a<x<a に従い、右辺が定数ではないですが、あえて
適用してみました。

　　すなわち　　-(x+7)<3x-1<x+7　　共通部分をとれば、場合分けした問題
と同じ答えになりました。

　この解き方は、ダメなような気がしますが、どうしてダメなのかはっきりしません。

回答No.2

rnakamra

これでよいと思います。

> |ｘ|<a 　の解は、　-a<x<a
これは明らかにa>0であるのですが、

|3x-1|<x+7
はx+7>0が成り立つことを前提にすれば
-(x+7)<3x-1<x+7
としてかまいません。

良く見ると、上記の式の両端を比較すると
-(x+7)<x+7→x+7>0
がいえますので質問者の出した連立不等式を満たせば自動的にx+7>0を満たしますのでこの方法で問題はありません。

お礼

わかりました。
　ありがとうございます。

回答No.1

nattocurry

＞　この解き方は、ダメなような気がしますが、どうしてダメなのかはっきりしません。

その考え方が不正解。

正解は、「この解き方は、ダメなような気がしますが、どうしてダメ【なような気がする】のかはっきりしません」ですね。

なぜなら、「この解き方」は、ダメじゃないからです。

場合分けをして解く場合、

|3x-1|<x+7

3x-1>=0の場合
3x-1<x+7

3x-1<0の場合
-(3x-1)<x+7
3x-1>-(x+7)

ということで、結果的に
-(x+7)<3x-1<x+7
を解いているのと同じことになります。

お礼

ありがとうございます。