- ベストアンサー
絶対値を含む1次不等式
|x+1|> 2x の不等式を解け (i) x≧-1 のとき、解は x<1 共通範囲は -1≦x≦1 …(1) (ii) x<-1のとき、解は x<-1/3 共通範囲は x<-1 …(2) ここまではわかるのですが、 求める解は(1)と(2)を合わせた範囲で x<1 というところがわかりません。 (1)と(2)をどうやって合わせたらx<1になるのでしょうか? 足し算でもして求めるのでしょうか? 他の問題を解いても、この合わせた範囲で~というところがどうしても求められません。 教えてください。お願いいたします。
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数7
- みんなの回答 (7)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
少々問題が混乱しやすいので簡単な例題で復習してみるのが良いでしょうね。 例えば、 |x|>1 の場合。 i) 0≦x の場合、 1<x となります。 これは、0≦x ”かつ” 1<x を満たすxの領域なので、1<x となります。 ii) x<0 の場合 x<-1 となります。 これは、x<0 ”かつ” x<-1 を満たすxの領域なので、x<-1 となります。 それぞれ数直線を描いて確認してみてください。 この解は、i) ”もしくは” ii) を満たすxの領域となるので、 x<-1 、 1<x が答えとなります。 i) ”かつ” ii) ではなく、i) ”もしくは” ii) です。 これと今回の問題をまったく同じ方法で解くと、 |x+1|>2x は、x=-1が境界線となるので、 i) -1≦x の場合、 x < 1 となります。 これは、-1≦x ”かつ” 1<x を満たすxの領域なので、-1≦x<1 となります。 ii) x<-1 の場合 x<-1/3 となりますが、x<-1 ”かつ” x<-1/3の領域は、x<-1 ですね。 これもそれぞれ数直線を描いて確認してみてください。 これの解は、i) ”もしくは” ii)を満たすxの領域なので、 x<-1、-1≦x<1 が解となります。単純にi),ii)の条件を並べただけです。 ところが、これらの領域がx=-1でつながっているので、結果、x<1だけでi),ii)両方の領域を表せてしまうので、まとめると x<1 となる、 ということだけです。 うっかり、i)とii)の共通領域( すなわちi)”かつ”ii) )を求めることと混乱しがちですが、先の簡単な例題などをもとに数直線を描きながら復習してみてください。 ご参考に。
その他の回答 (6)
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
ANo.3です。 -1≦x<1 …(1) x<-1 …(2) 質問者さんは、ひょっとしたら(1)と(2)の 共通範囲が解だと思っていませんか? (1)と(2)の共通範囲なら確かに x<-1です。 しかし、この問題の解は(1)と(2)の両方 であり、共通範囲ではありません。 言葉で書けば (1)はー1以上で1より小さい範囲 (2)はー1より小さい範囲 だから全体は1より小さい範囲になります。
お礼
yyssaaさんのおっしゃる通りでした。 勝手に共通範囲が解だと思っていました…。 教えて頂いて初めて気付きました…! ご指摘・ご指導して頂いてありがとうございます。 言葉で書いて頂いて更に納得することが出来ました。 大変ご迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。 わかりやすいご説明を本当にありがとうございました。
- aries_1
- ベストアンサー率45% (144/319)
#2です。 ここで、仮に-1≦x<1を満たすxをx(1)、x<-1を満たすxをx(2)とします。 x(2)の範囲にはx=-1は入っていませんよね? しかし、x(1)の範囲にはx=-1が入っていますよね? つまり、x(2)の範囲にx=-1も含まれていると考えて構わないということです。 これを踏まえてx(1)の範囲とx(2)の範囲を同じ数直線上に書くと、二つの範囲がx=-1で繋がっているような数直線になりませんか? つまり、xは-1≦x<1かつx≦-1なので、これを合わせるとx<1となります。(-1のときx(1)とx(2)が繋がっているのがわかりますか)
お礼
わかりやすくご説明いただき、ありがとうございました。 数直線を書きながら復習してみます。 本当にありがとうございました。
- Dr-Field
- ベストアンサー率59% (185/313)
「|x+1|> 2x の不等式を解け」という問題は、「|x+1|> 2x の式を成立させるxの範囲を求めよ」という問題と同義です。 この式の場合、絶対値を外すためにxの範囲を-1を境にxの場合分けをしますが、実際にはxは連続です。 ですから、(1)、(2)をあわせた範囲を考えます。 |x+1|≧0の場合は、不等式を解くとx<1だが、最初の絶対値の式によりxの範囲は-1≦xに限定されているから、-1≦x<1のxは題意を満たすことになる。・・・(1) |x+1|<0の場合は、不等式を解くとx<-1/3だが、最初の絶対値の式よりxの範囲はx<-1に限定されているから、x<-1では全てのxも題意を満たす。・・・(2) (1)と(2)より、題意を満たすxの範囲は1未満、すなわちx<1となる。
お礼
ありがとうございます。 すみません…相当頭が悪いのでこれでもわかりませんでした…。 私の答えはx<-1だと思っていました。。
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
(i) x≧-1 のとき、解は x<1 共通範囲は -1≦x≦1 …(1) >この(1)が間違いです。 共通範囲は-1≦x<1です。 それならわかりますよね?
お礼
すみません…わかりません。。
- aries_1
- ベストアンサー率45% (144/319)
-1≦x<1…(1)ということは、xは-1以上1未満(x≠1だが、x≒1)ということですよね? またx<-1…(2)ということは、xは-1未満(x≠-1であるが、x≒-1)ということですよね? 数直線上では≒は無視し、代わりに含まない部分のみ白丸を数直線上に書きます。 これを踏まえて数直線を書くと、(1)と(2)がx=-1の所で繋がっているのが分かりますか? よって、求めた範囲がx=1から数直線の左側に延々と延びているので、答えはx<1となります。
お礼
>数直線を書くと、(1)と(2)がx=-1の所で繋がっているのが分かりますか? わかります。 なので、x<-1が求める解だと思っていました。 なぜ-1ではなく、x<1が解なのかわかりません…。 すみません。。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
>共通範囲は -1≦x≦1 …(1) たぶん、-1≦x<1 ではないか、と思います。 で、 >共通範囲は x<-1 …(2) (1)と(2)が表わしている範囲を、数直線で表現してみてください。
お礼
間違えました、すみません。 -1≦x<1 です。 数直線で書きましたが、『合わせた範囲』がわかりません。
関連するQ&A
- 絶対値付き2次不等式の解法
高校数学の質問です。 |x^2-2x-8| > 2x+4 (x^2とは、xの平方を表します。) 上記の不等式の解は、「 x<-2, -2<x<2, 6<x 」ですが、腑に落ちません。 これらの解を、x軸上に書き出してみると、「交わり」の部分が無いからです。 絶対値を外して場合分けするまでは理解できるのですが・・・ 連立不等式においては、各々の不等式の解を共に満たす範囲(交わり部分)が最終的な解になるのでは? 数学マスターであられる諸兄にお尋ねします・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 絶対値を含む一次不等式の問題について
学校の先生に質問したのですがよくわからなかったのでここで質問させていただきます。(高校1年生です) (=のついた不等号は=を不等号の右に書きました) 2つの不等式 | x-7 | < 2 ...(1) | x-3 | < k ...(2) に ついて、次の問いに答えよ。ただしkは正の定数とする。 ・(1),(2)をともに満たす実数xが存在するようなkの値の範囲を求めよ ・(1)の解が(2)の解に含まれるようなkの値の範囲を求めよ はじめの問題は (1)を解いて 5 < x < 9 (2)を解いて 3-k < x < 3+k ここで、(1),(2)をともに満たす実数xが存在しないとき、 3+k < 5 または 9 < 3-k あわせて k < 2 ...(3) (1),(2)をともに満たす実数xが存在するとき、(3)より k >= 2 と思ったのですが、解答は k > 2 となっています。 実際に代入してみると確かに解答の通りなのですが、そのようになる考え方が分かりません。分かる方、回答を宜しくお願いします。 また、2つ目の問題で(1)の解が(2)の解に含まれるということは、 (1)の解がすべて(2)の解になっていると解釈していいのでしょうか? 分かる方、回答を宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数1 二次不等式教えてください
模範解答を見てみると (1)は、 [1]x≧1のときx<-1,4<x x≧1との共通範囲はx>4...(1) [2]x<1のとき......共通範囲はx<-5(2) という風に共通範囲を求めて、(1)、(2)を合わせた範囲が解となっています。 しかし、(2)は [1]x≦-1,3≦xのときx≦-2,3≦x...(1) これはx≦-1,3≦xを満たす。 [2]省略 という風に共通範囲を求めていません。 この違いは何なのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2次不等式について。
2次不等式の問題で x^2-ax+3=0の1つの解が2と3の間にあり、もう1方が 5と6の間にあるとき定数aの値の範囲を求めよ、 という問題では f(2)f(3)<0 f(5)f(6)<0 といった形でaの値の範囲をもとめています。 ここからが質問なのですが、 x^2-ax+3=0 について 0<α<1<β<2となる2つの実数解、α,βをもつとき、 定数aの値の範囲を求めよ といった問題との違いがいまいちわかりません。 こちらは、 f(0)>0 f(1)<0 f(2)>0 をそれぞれ計算して、 それぞれのaの共通範囲をだす と解答をみるとあるのですが・・・ なんだか、f(0)f(1)<0 f(1)f(2)<0 でもだせるようなきがしてなりません・・・; 上の問題とでは、なにがちがうのでしょうか・・・ おねがいいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次不等式についての問題です。
課題で出された基本問題なのですが、解法がわかりません。よろしくおねがいします。 1.aとxを実数とする。xについての不等式x^2-(a^2+a-2)+a^3-2a<0を解け。 2.二次不等式2x^2+(4-7a)x+a(3a-2)<0の解がちょうど3個の整数を含むとき、 正の定数aの値の範囲を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
とてもわかりやすい解説をありがとうございます!! KEIS050162さんのご説明で、やっと理解することができました。 ”かつ”と”もしくは” が自分の中で一緒になっていて、勝手に共通範囲を求めるものだと思っていました…。 簡単な例題で復習するとわかりやすいですね。 もう少しこのような問題で復習して慣れておこうと思います。 本当にありがとうございました。