6-4 高校数学の確率の問題です

質問

甲は1,2,3,...10の10枚のカードから2枚を無作為に取り出し乙は2,4,6,...20の10枚のカードから1枚を無作為に取り出す
甲の2枚の数の和をa、乙の1枚の数をbとしてa>bとなる確率とb>aとなる確率との大小を比較せよ

解説　甲の2枚のカードの組み合わせは[10]C[2]=45通りあるから甲と乙2人の3枚のカードについては45×10通り(1)
の可能性があって、これらは同様に確からしい　甲の45通りをaの値で分類すると右のようになり(1)のうちでa>bをみたすのはbの値で場合を分けて数えると45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通りでまた、a=bとなるのは、(1+2+3+4)×2=20通り　よってa<bとなるのは　450-(215+20)=215通り
したがってP(a>b)=P(a<b)である

別解　b>aの場合をb=20,18,,,,の順に数えると、やはり45+43+,,,=215通りとなる
これを一般の場合にも通用するように回答すると
甲の2枚の組を[{a[1],a[2]},b[1]]・・イを考えると(b[1]は乙の数)
[{11-a[1],11-a[2]},22-b[1]]・・ロも(1)の一つでありイとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる　[b<=10である45×5通りをイで考えれば、残り45×5通りはロで考えることになる] そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)

とあったのですが

解説のa>bをみたすのはbの値で場合を分けて数えると45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通り　とあるんですがこの式は何でこんな式が出てくるんですか？

a=bとなるのは(1+2+3+4)×2はaが10まででbと同じ数が3,4が1通り、5,6が2通り,7,8が3通り
9,10が4通りという事で1+2+3+4だと思うんですが×2するのは何故ですか？

後a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bは求めるの難しいのですか？

別解のb=20,18,...の順に数えるとやはり45+43+..=215通りとあるのですが、これは何でそうなるんですか？

甲の2枚の組を[a[1],a[2]}として(1)の一つ{(a[1],a[2]),b[1]}・・イを考えると
(b[1]は乙の数) {(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません

{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる　も何でこのような事が言えるのか分かりません

そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>>変換が上手く行くか証明が必要だけど、
>証明の方をお願いできますか？

単射で全射になるには
a > b の異なる2パターンが a < b の異なる2パターンに対応すること
a < b の異なる2パターンが a > b の異なる2パターンに対応すること

これが言えれば問題なさそうですね。ほぼ自明。

お礼

御返答有難うございます

補足

自明ではないです、是非詳しくお願いします

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

〉b>aの場合をb=20,18,,,,の順に数えると、やはり45+43+,,,=215通りとなる」とあります。
>は何でそうなるのか分からないです

解説の中で、aくbの中の組み合わせと、a>bの
中の組み合わせに1:1の対応があるらしいことが
示されていますね。

変換が上手く行くか証明が必要だけど、
1:1の関係が成り立てば、
a=bの場合の数は20だから
(450―20)/2=215
が簡単に出てきます。

お礼

御返答有難うございます

補足

>変換が上手く行くか証明が必要だけど、
証明の方をお願いできますか？

後は(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません

{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる　も何でこのような事が言えるのか分かりません

こちらの疑問点をお願いします

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

〉a=bとなるのは(1+2+3+4)×2
b=2→なし
b=4→(1,3)
b=6→(1,5)、(2,4)
b=8→(1,7)、(2,6)、(3,5)
b=10→(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)
b=12→(2,10)、(3,9)、(4,8)、(5、7)
b=14→(4,10)、(5,9)、(6、8)
b=16→(6,10)、(7,9)
b=18→(8,10)
b=20→なし

合計20個

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございますNo6の補足に書いた疑問点を宜しくお願いします

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>試しに b=14、a>b で、甲のカードの組み合わせがいくつあるか数えてみてはいかが？

具体例。

b=20 ⇒ なし
b=18 ⇒ (9, 10) 1個
b=16 ⇒ (7, 10), (8, 9～10), (9, 10) 4個

bが小さいときは a<=b を探して45個から引いた方が早い。

b=2 ⇒ 45 -0 = 45
b=4 ⇒ (1, 2～3) だから 45 -2 = 43
b=6 ⇒ (1, 2～5)、(2, 3～4), だから 45 -6 = 39

地道に作業すればすぐに全部求まります。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございます

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

＞甲の45通りをaの値で分類すると右のようになり(1)のうちでa>bをみたすのは

＞45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通り　とあるんですがこの式は何でこんな式が出てくるんですか？

表を見せずに表の解説の解説をしてくださいと頼むのはひどい話ですね。良識を疑います。

まあ想像はつきますけど・・・

試しに b=14、a>b で、甲のカードの組み合わせがいくつあるか数えてみてはいかが？
整数の足し算ができれば誰でもできるはずです。
＃正解は 9個

お礼

御返答有難うございます

補足

すいません、こちらはURL貼れないから表貼ってませんでしたね、表と言うのはaが3,4:1通り
5,6;2通り　7,8;3通り　9,10:4通り　11:5通り　12,13:4通り　14,15:3通り　16,17:2通り

18,19:1通り　　という表です　この表から45+43+39+・・・・+1=215通りは分かりました

回答No4の方にも書いたのですが

イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません

{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる　も何でこのような事が言えるのか分かりません

そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです
この疑問点を宜しくお願いします

回答No.4

ONEONE

>>b = 2のとき a ＞ bとなる場合の数 はいくつですか？
>17通り

>>(2) b = 4のとき a ＞ bとなる場合の数 はいくつですか？
>15通りですか？

全然違います。

(0-1) aは何通りできますか？
(0-2) aをすべて書き下してください。
(0-3) 再度上記問題を解いてください。

お礼

御返答有難うございます

補足

表を見たら分かりました、b=2の時aは45通り全部ですね、b=4の時はaは5,6から18,19まで
ですから2×2+3×2+4×2+5×1+4×2+3×2+2×2+1×2=43
どうようにしてb=6の時も計算していくと39となっていって45+43+39+・・・+1=215通り

ここは分かったのですが

イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる[b<=10である45×5通りをイで考えれば残り45×5通りはロで考えることになる]の所でb[1]は乙の数というのが何の事か分かりません

{(11-a[1],11-a[2]),22-b[1]}・・ロも(1)の一つであり、イとロで1対とすると(1)はこのような45×5対からなる　も何でこのような事が言えるのか分かりません

そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです
この疑問点を宜しくお願いします

回答No.3

ONEONE

(1) b = 2のとき a ＞ bとなる場合の数 はいくつですか？
(2) b = 4のとき a ＞ bとなる場合の数 はいくつですか？
以下 b = 20まで出せますか？

お礼

御返答有難うございます

補足

>b = 2のとき a ＞ bとなる場合の数 はいくつですか？
17通り

>(2) b = 4のとき a ＞ bとなる場合の数 はいくつですか？
15通りですか？

回答No.2

ONEONE

>45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通り　とあるんですがこの式は何でこんな式が出てくるんですか？

解説に「bの値で場合を分けて数えると」と書いてあります。
別解にも「別解　b>aの場合をb=20,18,,,,の順に数えると、やはり45+43+,,,=215通りとなる」とあります。
b = 2のとき, 4のとき, ・・・,18のとき, (20のとき)の a ＞ bとなる場合の数を足しあわせてます。

a=bの場合も同様に数えてみては。

a < bの場合も同様に数えてみては。

簡単な応用問題から始めてみては。

お礼

御返答有難うございます

補足

bの値で場合を分けて数えると何で45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通りとなるんですか？

別解　b>aの場合をb=20,18,,,,の順に数えると、やはり45+43+,,,=215通りとなる」とあります。は何でそうなるのか分からないです

回答No.1

f272

> 45+43+39+33+25+16+9+4+1=215通り　とあるんですがこの式は何でこんな式が出てくるんですか？

数えた。

> ...という事で1+2+3+4だと思うんですが×2するのは何故ですか？

あなたの書いている通り，それぞれ２つの場合があるから。

> 後a>bとa=bを求めて全体から引いてるんですが、いきなりa<bは求めるの難しいのですか？

a>bと同じくらい簡単。

> 別解のb=20,18,...の順に数えるとやはり45+43+..=215通りとあるのですが、これは何でそうなるんですか？

数えた。

> b[1]は乙の数というのが何の事か分かりません

乙が取り出した数のこと。

> (1)はこのような45×5対からなる　も何でこのような事が言えるのか分かりません

数えた。

> そしてa≠bであるどの対についても一方はa>b他方はb>aであるからP(a>b)=P(b>a)も何でこのような事が言えるのか分からないです

a[1]+a[2]>b[1]と11-a[1]+11-a[2]<22-b[1]が同値だということ。

一応，回答したけど，あなたには問題の難易度があっていません。もっと簡単な問題集（小学生程度）に切り替えるべきです。

お礼

御返答有難うございます

補足

ほぼ全ての回答が納得出来る内容ではないです、それでは理解できません、小学生の問題集をやるというのも必要性を感じませんし、何を使うかはこちらで決めます