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6-17 再質問の高校数学の確率の問題です

6-17 再質問の高校数学の確率の問題です 2種の文字A,Bの順列について考える 同一文字の1つづきを1つの連という 例えばAABABB ではAA,B,A,BBの4個の連を持つ A,Bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ 解説 A,B5個ずつ計10個の順列は[10]C[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がAで2連がBのものと,3連がBで2連がAのものとが考えられるが 5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える) その個数は[4]C[2]で一般のk分割だと[4]C[k-1]通りであるから a[5]=[4]C[2]・[4]C[1]+[4]C[1]・[4]C[2]=2[4]C[2]・[4]C[1] このようにしてa[2]~a[10]を求めると  a[2]=2[4]C[0]・[4]C[0]=2,a[3]=2[4]C[1]・[4]C[0]=8, a[4]=2[4]C[1]・[4]C[1]=32,a[5]=2[4]C[2]・[4]C[1]=48, a[6]=2[4]C[2]・[4]C[2]=72,a[7]=2[4]C[3]・[4]C[2]=48, a[8]=2[4]C[3]・[4]C[3]=32,a[9]=2[4]C[4]・[4]C[3]=8, a[10]=2[4]C[4]・[4]C[4]=2 したがって求める期待値は 1/[10]C[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6 別解 a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は 1/[10]C[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+ (5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+ (6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・Σ[k=2→10]6a[k]=6 (Σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]C[5]に等しい) 研究 一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります (nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである)    研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか?1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。と教わりましたが良く分かりません、何でそんな事が成り立つのか教えてください

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大丈夫安心して 自分もわからん(笑) だから以下で言うことは参考にはなっても間違ってる可能性も高いです… 連あたりの文字の期待値は、連の個数の逆数の期待値の2n倍になりますが 研究で使われてる論法では 期待値の逆数は逆数の期待値と一致する と言ってるように見えます。 当然これは成立せず、実際 n回数字を選ぶ操作を考る。 1,2,3がそれぞれ1/3の確率で出れば期待値はnに依存せず2 1/1,1/2,1/3がそれぞれ1/3の確率で出れば期待値はnに依存せず11/18 当然nを∞にしようが結果は変わりません 別の例を挙げれば、 m個のみかんをk人で分けたときのみかんの個数の期待値は(k=1,...,mで等しい確率) Σ1/m*m/k=Σ1/k 故に一人当たりのみかんの個数の期待値は無限大に発散 m個のみかんを人数の期待値(m+1)/2で割れば 2m/(m+1) 故に2に収束し、大きく結果が剥離します。 (大体k=0.000...001など十分0に近い人数を認めた場合ものすごい剥離することがすぐ分かるでしょう。k=0などが混ざっていた場合定義すら不可能です) ただ、この問題ではnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2に十分近づくのは成立しそうです。 そして残念ながら自分の頭では、これ以上の議論は出来ず偶然一致したのではと言う答えしかだせませんorz 回答で質問するのも奇妙な形ですが、何か意味があったりするんですかね

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御返答有難うございます

質問者からの補足

>何か意味があったりするんですかね 分からないですね,どなたか完璧に理解しておられる方を待つより仕方ないと思います

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • kmee
  • ベストアンサー率55% (1857/3366)

全部で m 個のミカンを、 k 人に分けると、一人あたり何個になりますか? その計算方法は? 全部で M 個の文字を、 K連に分割したら、1連あたり何文字になりますか? Mは既知で固定です。 K はいろんな組合せがありますが、その期待値はわかっています。 となれば、 「1連あたりの文字数」の期待値は、 Kが期待値のときの「1連あたりの文字数」になりませんか? 2n/(n+1)で、nが十分に大きい時、というのは、既に回答がついています。 > 何でそんな事が成り立つのか教えてください 前の質問でもそうなのですが、もう少し具体的にどこが理解できないか、書いてもらえませんか? この書き方では曖昧で、あなたが理解できないのが ・「1連あたりの文字数」の計算方法 ・「1連あたりの文字数」の期待値を求めるのに、「連数の期待値」を使っている理由 ・nが十分に大きいときに、2n/(n+1) が2になる理由 のどれなのかがわかりません。 このままでは、いつまでたってもあなたの疑問点には答えてもらえないのではないでしょうか。

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質問者からのお礼

御返答有難うございます

質問者からの補足

>全部で m 個のミカンを、 k 人に分けると、一人あたり何個になりますか? m/kです >全部で M 個の文字を、 K連に分割したら、1連あたり何文字になりますか? M/Kです >「1連あたりの文字数」の期待値は、 Kが期待値のときの「1連あたりの文字数」になりま>せんか? ここが分からないです、何でKが期待値の時の「1連あたりの文字数」になるんですか? >具体的にどこが理解できないか、書いてもらえませんか? 分かりました、「1連あたりの文字数」の計算方法は分からないです 「1連あたりの文字数」の期待値を求めるのに、「連数の期待値」を使っている理由 正に、その理由を知りたいです nが十分に大きいときに、2n/(n+1) が2になる理由 これは分かります

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    教えてください。 すいませんが至急よろしくお願いします。   7個のA、2個のB、1個のCの合計10個の文字を横一列に並べる。  (1) 並べられた文字を左端から順にみるとき、左から3番目に初めてBの文字   が現れるような並べ方は何通りあるか。    また、2つのBの間にCがあるような並べ方は何通りあるか。ただし、   2つのBの間にAがあってもよいものとする。    (2)2つのBの間にAがn個ある確率を Pn(n=0,1,…,7)と表すとき、    (i)P3の値を求めよ。    (ii)Pnをnを用いて表せ。  (3)2つのBの間にあるAの個数の期待値を求めよ。

  • 6-18 高校数学の確率です

    質問を他の方にして理解できない部分があったのでその部分を是非教えて下さい xy平面上に点P[0],P[1],P[2],....P[n]を次のように決める まずP[0]は(0,0)とし一般にP[k](k=0,1,2,,,,n-1)が(a,b)であるとき、P[k+1]は(a+1,b)または(a+1,b+1)であり、いずれであるかは等確率(=1/2ずつ)とする 折れ線P[0]P[1]P[2],,,P[n]と2つの直線y=0,x=nが囲む図形の面積の期待値をE[n]としてE[5]を求めよ 解説 E[5]といっても平凡に考えれば2^5通りについて調べなければなりません ところが、次のように一般のE[n]を求める巧妙な解法があります P[1]が(1,0)か(1,1)かで場合を分けてE[n]をE[n-1]で表してみると E[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)=E[n-1]+1/2・(n-1/2) よってE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4(E[1]-1/4=0) したがってE[n]=n^2/4 よってE[5]=25/4 注 たとえば、サイコロで出る目の数の期待値は 1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)というように奇遇に分けて計算することができますが上で漸化式を立てるときも、これと同じような事をしているわけで決して''和の期待値は期待値の和''などの高級な知識を使っているわけでは有りません なお、上の結論は P[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており納得がいきますね 以下疑問点です E[n]をE[n-1]で表すときにE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)で求めているのですが 何でこの式になるのか分かりません そしてE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)この式をE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4 にどうやって変形してのか分からないです なお、上の結論はP[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており の所なのですが、何故そのような事が言えるのか分からないです と質問したところ 画像を貼っていただいて(画像は画像添付の所に載せます,見にくかったら言ってください) 画像にP3までの道順とP2までの道順をすべて書き出してみました。上4つが青丸を通過する道順、真ん中4つが赤丸を通過する道順です。排反というのはこれら8つを見てお分かりの通り、スタートからゴールまでの道順で、一致するものはない、という意味です。 P3に至る道順とx軸とで囲まれる面積は左上から右に向かって順番に 0, 1/2, 3/2, 2, 2, 3/2, 7/2, 4 です。 これらの平均がE[3]なわけですね。さあ、これを求めましょう。 ところがよく見ると、青丸を通る道順の面積の合計(上4つ)はP2に至る道順(画像の下4つ)を考えた時に出てくる面積と同じなのです。その部分を薄く紫色に塗ってあります。 さらに赤丸を通る道順の面積は薄紫が塗ってある道順の面積に黄緑の面積を加えたものです(この塗り方を前回間違えていました)。 よってP4に至る道順とx軸とで囲まれる面積の平均は {(青丸通過の道順面積の平均)+(赤丸通貨の道順面積の平均)}の平均です。つまり、 {(E[2])+(E[2]+1×3&#65293;1/2)}/2 これがE[3]と等しいのです。これを一般化して E[n]=(1/2)・E[n-1]+(1/2)・(E[n-1]+n-1/2)を得ます。 と説明してただいて (以下自分が疑問に思った点) 青丸を通るE[3]の道順の面積とE[2]の折れ線の面積が同じになるのは結果を見れば分かるのですが、この図だけ見てすぐ分かるのですか? そうだとしたらそれはどこで分かるんですか?それと紫の部分と言うのは面積ではないですよね?紫とか黄色の斜線の部分は何を表しているのですか? と聞いた所 (以下解説していただいた内容) 紫色の部分は2×2の格子です。 P2の考察はこの2×2格子の中で考えますよね。 そして、その2×2格子のパターンがP3を考察する3×3格子のなかに全く同じ形で現れます。 それに気づいて欲しくて紫色で塗っているのです。さらにそうすることで赤丸と青丸が2×2格子のスタートと見なせることに気づいて欲しいのです。そして黄緑は赤丸を通る場合面積の底上げ部分が全部共通であることを図で示しているのです。 とお答えいただいたのですが (以下疑問に思った点) >P2の考察はこの2×2格子の中で考えますよね。 P[2]は(0,0)から始めると紫の2×2まで要らなくて3点(0,0),(2,0),(2,2)を結ぶ三角形の内部だけでよくないですか?下の斜線で書いたところだけ、だってこの範囲以外取り様が無いですよね? >P3を考察する3×3格子のなかに全く同じ形で現れます この2×2格子もそうでしたが、3×3格子というのは何のためにかんがえるのですか? という疑問なのですが、是非ともお答えいただけると助かります