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6-17 再質問の高校数学の確率の問題です

2種の文字A,Bの順列について考える 同一文字の1つづきを1つの連という 例えばAABABB ではAA,B,A,BBの4個の連を持つ A,Bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ 解説 A,B5個ずつ計10個の順列は[10]C[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がAで2連がBのものと,3連がBで2連がAのものとが考えられるが 5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える) その個数は[4]C[2]で一般のk分割だと[4]C[k-1]通りであるから a[5]=[4]C[2]・[4]C[1]+[4]C[1]・[4]C[2]=2[4]C[2]・[4]C[1] このようにしてa[2]~a[10]を求めると  a[2]=2[4]C[0]・[4]C[0]=2,a[3]=2[4]C[1]・[4]C[0]=8, a[4]=2[4]C[1]・[4]C[1]=32,a[5]=2[4]C[2]・[4]C[1]=48, a[6]=2[4]C[2]・[4]C[2]=72,a[7]=2[4]C[3]・[4]C[2]=48, a[8]=2[4]C[3]・[4]C[3]=32,a[9]=2[4]C[4]・[4]C[3]=8, a[10]=2[4]C[4]・[4]C[4]=2 したがって求める期待値は 1/[10]C[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6 別解 a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は 1/[10]C[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+ (5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+ (6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・Σ[k=2→10]6a[k]=6 (Σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]C[5]に等しい) 研究 一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります (nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである)    研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか?

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  • tetra_o
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充分な回答ではないかもしれませんが、参考にはなると思いますのでお答えします。 研究にある「一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になる」ことを前提としますと、1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。 ここで、高校三年生の数学IIIで習う「数列の極限」を知っていれば、nが充分に大きい時、この値がどうなるかを考えることができます。つまり、lim[n→∞] 2n/(n+1) = lim[n→∞] 2/(1+1/n) = 2 となります。従って、「nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となる」ことが示されます。もし「数列の極限」を習っておられなければ、今は「そういうものなんだ」程度にとらえていただいて、勉強されてからまた見ていただければと思います。 勉強頑張ってください。

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すいません、図貼るの忘れました、図を張って再掲載するので又答えていただけますか?

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    質問を他の方にして理解できない部分があったのでその部分を是非教えて下さい xy平面上に点P[0],P[1],P[2],....P[n]を次のように決める まずP[0]は(0,0)とし一般にP[k](k=0,1,2,,,,n-1)が(a,b)であるとき、P[k+1]は(a+1,b)または(a+1,b+1)であり、いずれであるかは等確率(=1/2ずつ)とする 折れ線P[0]P[1]P[2],,,P[n]と2つの直線y=0,x=nが囲む図形の面積の期待値をE[n]としてE[5]を求めよ 解説 E[5]といっても平凡に考えれば2^5通りについて調べなければなりません ところが、次のように一般のE[n]を求める巧妙な解法があります P[1]が(1,0)か(1,1)かで場合を分けてE[n]をE[n-1]で表してみると E[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)=E[n-1]+1/2・(n-1/2) よってE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4(E[1]-1/4=0) したがってE[n]=n^2/4 よってE[5]=25/4 注 たとえば、サイコロで出る目の数の期待値は 1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)というように奇遇に分けて計算することができますが上で漸化式を立てるときも、これと同じような事をしているわけで決して''和の期待値は期待値の和''などの高級な知識を使っているわけでは有りません なお、上の結論は P[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており納得がいきますね 以下疑問点です E[n]をE[n-1]で表すときにE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)で求めているのですが 何でこの式になるのか分かりません そしてE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)この式をE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4 にどうやって変形してのか分からないです なお、上の結論はP[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており の所なのですが、何故そのような事が言えるのか分からないです と質問したところ 画像を貼っていただいて(画像は画像添付の所に載せます,見にくかったら言ってください) 画像にP3までの道順とP2までの道順をすべて書き出してみました。上4つが青丸を通過する道順、真ん中4つが赤丸を通過する道順です。排反というのはこれら8つを見てお分かりの通り、スタートからゴールまでの道順で、一致するものはない、という意味です。 P3に至る道順とx軸とで囲まれる面積は左上から右に向かって順番に 0, 1/2, 3/2, 2, 2, 3/2, 7/2, 4 です。 これらの平均がE[3]なわけですね。さあ、これを求めましょう。 ところがよく見ると、青丸を通る道順の面積の合計(上4つ)はP2に至る道順(画像の下4つ)を考えた時に出てくる面積と同じなのです。その部分を薄く紫色に塗ってあります。 さらに赤丸を通る道順の面積は薄紫が塗ってある道順の面積に黄緑の面積を加えたものです(この塗り方を前回間違えていました)。 よってP4に至る道順とx軸とで囲まれる面積の平均は {(青丸通過の道順面積の平均)+(赤丸通貨の道順面積の平均)}の平均です。つまり、 {(E[2])+(E[2]+1×3-1/2)}/2 これがE[3]と等しいのです。これを一般化して E[n]=(1/2)・E[n-1]+(1/2)・(E[n-1]+n-1/2)を得ます。 と説明してただいて (以下自分が疑問に思った点) 青丸を通るE[3]の道順の面積とE[2]の折れ線の面積が同じになるのは結果を見れば分かるのですが、この図だけ見てすぐ分かるのですか? そうだとしたらそれはどこで分かるんですか?それと紫の部分と言うのは面積ではないですよね?紫とか黄色の斜線の部分は何を表しているのですか? と聞いた所 (以下解説していただいた内容) 紫色の部分は2×2の格子です。 P2の考察はこの2×2格子の中で考えますよね。 そして、その2×2格子のパターンがP3を考察する3×3格子のなかに全く同じ形で現れます。 それに気づいて欲しくて紫色で塗っているのです。さらにそうすることで赤丸と青丸が2×2格子のスタートと見なせることに気づいて欲しいのです。そして黄緑は赤丸を通る場合面積の底上げ部分が全部共通であることを図で示しているのです。 とお答えいただいたのですが (以下疑問に思った点) >P2の考察はこの2×2格子の中で考えますよね。 P[2]は(0,0)から始めると紫の2×2まで要らなくて3点(0,0),(2,0),(2,2)を結ぶ三角形の内部だけでよくないですか?下の斜線で書いたところだけ、だってこの範囲以外取り様が無いですよね? >P3を考察する3×3格子のなかに全く同じ形で現れます この2×2格子もそうでしたが、3×3格子というのは何のためにかんがえるのですか? という疑問なのですが、是非ともお答えいただけると助かります

  • 6-2 高校数学の確立の問題です

    各々1から10までの番号の付いた10個の白い球と同じく10個の赤い球の計20個が入った袋がある この袋から1つずつ順に4個の球を取り出すことにする ただし、一度取り出した球は袋に戻さないものとする このとき (1)4つめの球を取り出したときに初めて同じ番号の白球と赤球の対ができる確率をもとめよ (2)2つめに取り出した球の番号よりも4つめに取り出した球の番号のほうが大きくなる確率を求めよ 解説 (1)4個の球の順列は20/19/18/17通り(1)でこのうちで題意のようになるのは球の番号だけに着目するとabca,baca,bcaaの3タイプで各タイプの順列の個数を色も考慮して。まずは2個のaから数えると、どのタイプも20・1・18・16通り(2) よって求める確率は ((2)×3)/(1)=(16・3)/19・17=48/323  別解(1)くじ引き型の問題は一般に和積の法則を使わないで単に場合の数を数える解法がよいが本問は積の法則を使ったほうが考えやすい 求める確率は 20/20・18/19・16/18・3/17=48/323 (2)(1)の(1)のうちで題意のようになるのは、まず、2個目と4個目の番号の組み合わせ つぎに2個目と4個目の色 最後に1個目と3個目の球(番号および色)の順に考えると[10]C[2]・2^2・18・17=20/9・18・17通りである よって求める確率は9/19 (2)の別解 n個目の番号をa[n]とする (1)(1)の順列を、まずは2個目と4個目の番号の組み合わせを決めてから作ると考えると、明らかにP(a[2]<a[4])=P(a[2]>a[4])よって P(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}=1/2×(1-1/19)=9/19 (注) (注)(2)の別解のP(a[2]=a[4])=1/19はまずa[2]、つぎにa[4]を決めると考えれば瞬間的に分かることですが、このように時間の順序を変えて考えてよいのは順列は好きな順序で数えてよいからです とあったのですが abca,baca,bcaaの3タイプあるとあるのですが、acbaは考えなくていいんですか? まずは2個のaから数えるとどのタイプも20・1・18・6通りとあるんですが、何故この掛け算になるのか分かりません最初の20は20個からどの番号を選ぶか20通りなので20と分かるんですが、次の1が分からないです、次の18は最初の球と2番目の球以外の18通りということでしょうか?次の6は何で6なのか分からないです 求める確立は((2)×3)/(1)の所で(2)×3の3は何で3を掛けるんですか? 別解?の積の法則を使って20/20×18/19×16/18×3/17=48/323の所の計算も何でこの計算になるのか分かりません (2)は2個目と4個目の番号の組み合わせ 次に2個目と4個目の色 最後に1個目と3個目の球 の順に考えると [10]C[2]×2^2×18×17=20×9×18×17通りってあるんですが ここも何でこんな計算になるのか分かりません (2)の別解で2個目と4個目の番号を組み合わせてから作ると考えるとP(a[2]<a[4])=P(a[2]>a[4])とあるんですがa[2]>a[4]とa[2]<a[4]が何で同じになってるのか分かりません よってP(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}=1/2×(1-1/(19))の所なのですが P(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}が成り立つのが分かりません、それとP(a[2]=a[4])が何故1/(19)になるのかも分からないです