一辺の長さがaの正方形の中にある図形の面積

質問

一辺の長さがaである正方形があります。この正方形の各頂点を中心とする４つの半径aの円に囲まれた四角形？の面積ってこの条件だけで求まりますか？
よろしくお願いします。

回答No.5

hinebot · ベストアンサー

この問題を解くには、３つの角が30°,60°,90°である直角三角形の３辺の比が１：２：√3 であるということを知っていないとできません。

それにしても、中学入試で√を扱うとは…

解法ですが、正方形の頂点を左上から反時計回りにA,B,C,Dとします。また、真中にできた四辺形の頂点を辺ADに近い方から、反時計回りにE,F,G,Hとします。
Eから辺BCへ垂線を下ろし、その交点をPとします。

A　　　　D
　　E
　F　　H　　　　　←だいたい、こんな位置関係
　　G
B　 P　　C

BE,BC,ECはそれぞれ半径で等しいので、△EBCは正三角形になります。
扇形B-ECの面積は求められますよね。（半径a,中心角60°）
次に△EBCの面積を求めます。
このときに、「３辺の比が１：２：√3 である」ということを使います。
具体的には、△EBC＝２×△EPBで
△EPBにおいて、BP=a/2, PB=(√3)aになり、「底辺かける高さ÷２」が使えます。
すると、
（扇形B-ECの面積）－（△EBCの面積）
より、BとEで囲まれた弓形のような部分の面積が分かります。（これを弓形BEと表すことにします。）

次に扇形B-AEを考えます。
△EBCが正三角形なので、∠EBC＝60°ですから
∠ABE＝30°となり、半径a、中心角30°でこの面積も計算できます。

最後に
（扇形B-AEの面積）－（弓形BEの面積）
により、A,B,Eで囲まれたイチョウの葉っぱの半分みたいな形の面積が求まります。（これをイチョウ形ABEと表します。）

求めたい四辺形の面積は
（正方形の面積）－（イチョウ形ABEの面積）×４
です。

実際に図を書いてみると、分かりやすいと思います。
一度、aに具体的な数字を入れて、ご自分で計算してみてください。

お礼

説けました。ありがとうございます！！