微分、最大値などについて

質問

表面積が２πで、底面の半径がr、高さがhの円柱がある。

(1)hをrの式で表せ。
(2)この円柱の体積が最大になるようなrとhの値を求めよ。また、そのときの体積を求 めよ。

できればやり方なども教えてください。
回答よろしくお願いいたします。

回答No.6

yyssaa

補足
分かりやすくするために定数πをのけたということは、
ｒの値にπがついているほうが良いということでしょうか
＞
V(r)=πr(1-r^2)
の1回微分：V'(r)=π(1-r^2)-2πr^2=π(1-3r^2)
2回微分：V"(r)=-2rπ-4πr=-2rπ-4πr=-6πr
f(r)=r(1-r^2)
の1回微分：f'(r)=1-r^2-2r^2=1-3r^2
f"(r)=-6r
V(r)とf(r)のrによる変化を考えるとき、f(r)の方が
計算が楽でしょ？
いやならπを付けて計算しても答えは一緒です。

回答No.4

yyssaa

補足に対する回答

>πは定数だからf(r)=r(1-r^2)=r-r^3とおいて

これは、πが定数ということはどういうことでしょうか？
回答よろしくお願いいたします。

＞V=πr^2h=πr^2{(1-r^2)/r}=πr(1-r^2)で
Vのrによる変化をみるために、
Vをrで1回微分、2回微分する際に、定数πが
無い方が計算し易いので、rの関数だけをf(r)
として計算したもの。

補足

分かりやすくするために定数πをのけたということは、ｒの値にπがついているほうが良いということでしょうか

回答No.2

yyssaa

(1)hをrの式で表せ。
＞底面の面積=πr^2・・・・・(ア)
側面の面積=底面の周長×高さ=2πrh・・・・・(イ)
表面積=(ア)×2+(イ)=(πr^2)*2+2πrh=2πr(r+h)
これが２πだから
2πr(r+h)=2π
r(r+h)=1
r+h=1/r
h=(1/r)-r・・・答
(2)この円柱の体積が最大になるようなrとhの値を求めよ。また、そのときの体積を求 めよ。
円柱の体積をVとするとV＝底面の面積×高さだから
V=πr^2h・・・・・(ウ)
(1)の答h=(1/r)-r=(1-r^2)/rを(ウ)に代入して
V=πr^2h=πr^2{(1-r^2)/r}=πr(1-r^2)・・・・・(エ)
πは定数だからf(r)=r(1-r^2)=r-r^3とおいて
f'(r)=1-3r^2、f'(r)=0の解はr^2=1/3、r=±1/√3
f"(r)=-6r、f"(r)=0の解はr=0
以上からf(r)のグラフはr＜0で下が凸(∪のような形)、
r=0が変曲点、0＜rで上が凸(∩のような形)の三次曲線
(左上がり右下がりの三次曲線)となり、f'(r)=0の解
からr=1/√3=√3/3でf(r)は極大、すなわち0＜rの範囲
での最大値をとる。よって
r=√3/3を(1)の答に代入して
h=(1/r)-r=3/√3-√3/3=(3*3-√3*√3)/(3√3)
=(9-3)/(3√3)=6/(3√3)=2/√3=2√3/3
r=√3/3を(エ)に代入して
V=πr^2h=πr(1-r^2)=π(√3/3){1-(√3/3)^2}
=π(√3/3)(1-1/3)=π(√3/3)(2/3)=(2√3)π/9
以上から
この円柱の体積が最大になるr=√3/3、h=2√3/3、
そのときの体積=(2√3)π/9・・・答

補足

>πは定数だからf(r)=r(1-r^2)=r-r^3とおいて

これは、πが定数ということはどういうことでしょうか？
回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#215361

(1)hをrの式で表せ。
円柱の表面積は、底面積*2+側面積
底面積=（r^2）π、側面積=底面の円周*高さ=2rπ*h
よって、次の関係が成り立つ
（r^2）π*2+2rπh=2π→h=（1-r^2）/r

(2)この円柱の体積が最大になるようなrとhの値を求めよ。また、そのときの体積を求めよ。
円柱の体積Vは、底面積*高さ
底面積=（r^2）π、高さ=（1-r^2）/r
よって、次の関係が成り立つ
V=（r^2）π*（1-r^2）/r=r（1-r^2）π
体積の最大値を求めるためには、dV/drを求めて増減表を考える
ここで求められたrの値を(1)の式に代入すればhの値も求められる
また、体積の最大値は上式から求められる

補足

rの値にπがついても大丈夫でしょうか？

回答よろしくお願いいたします。