数学の問題です

質問

宜しくお願いします。
蓋のない円柱形の容器をつくる時、体積を一定に保ちながら鉄板の使用量を最も少なくする為には底面の半径rと高さhの比はどうなるか？ただし、鉄板の厚さは無視できるものとする。

鉄板の厚さは無視できるので、体積は一定で、表面積を一番小さくするときの比を求めればいいと思うのですが、答えが分かりません。宜しくお願いいたします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

円柱の体積と表面積は、
体積:V=πr^2h
表面積:S=πr^2+2πrh=πr^2+2V/r

Sをrで微分してS'=0となるrを求めると、
S'=2πr-2V/r^2=2πr-2πh=0
∴r=h

お礼

すっきりしました。お二人とも大変有難うございました!!

回答No.2

Willyt

円柱の底面の半径をｒ、高さをｈとすると目的とする函数Ｆは
　Ｆ＝πr^2+πrh
であり、このＦをπｒ^2h=一定という条件の下で最小にするようなｒとｈを求めるということになります。これは
体積 V=πr^2h （Ｖは定数）を用いてＦの式からｈを消去します。するとＦはｒだけの関数になりますから、これを
ｒで微分したものがゼロという式を作ります。この式からｒを求めればそれが求める半径となり、ｈは消去した式から求められますね。
得られた解は定数Ｖが含まれる式になりますから、当然得られる解はＶの関数となります。つまり体積を変えれば得られる解が変って来るということを意味します。