微分の応用（高校数学）

質問

高校生の者です。

表面積が12π平方センチメートルである直円柱の密閉された缶を考えます。（缶の材料の厚さは考えません。）
缶の上下にある円の半径をx cm、缶の高さをh cmとするとき、缶の体積を最大にするxとhの値、そのときの体積を求めなさい。

という問題です。
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

h_i_r_o_b_o_w · ベストアンサー

xとhは長さなので、
x>0,h>0
　　が必要です。
　　また表面積が
12*pai(cm^2)
　　であることから、xとhの関係式を表現すると、
2*pai*x^2+2*pai*x*h=12*pai
　　となり、式を変形すると、
h=(6-x^2)/x
　　となります。

　　体積をVとおくと、
V=pai*x^2*h
=pai*x^2*(6-x^2)/x
=-pai*x^3+6*pai*x

dV/dx=-3*pai*x^2+6*pai
=-3*pai*(x^2-2)
=-3*pai*(x-√2)(x+√2)

　　また、
V=-pai*x*(x-√6)(x+√6)
　　です。

これより体積Vのグラフはx軸の-√6,0,√6を通り、-√2で極小値、√2で極大値を取るグラフとなります。

　　x>0 でグラフを書くと、x=√2で最大値になることがわかります。
　　x=√2をhとVの式に当てはめると、
h=2√2
V=4√2*pai

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
とても助かりました。

回答No.1

shiga_3

缶の体積をV、表面積をAとして式を立てます。
V＝πｘ^2・h　　　　　　　・・・(1)
A＝2πｘ^2＋2πｘh＝12π・・・(2)

(2)を解くと
h＝（6－x^2）/x　　　　　・・・(3)
となり、これを(1)に代入して
V＝πx^2・(6－x^2)/x＝π(6x－x^3)
これをxで微分すると
dV/dx＝3π(2－x^2)
となります。

Vが極値（最大・最小値）となるのはdV/dx＝0の時なので
dV/dx＝3π(2－x^2)＝0を解くと
x＝±√2
x＞0なのでx＝√2で、この時Vが最大になります。
あとは(1)(3)にxを代入して体積と高さを求めます。

お礼

早い回答、ありがとうございました。
すごく参考になりました。