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数学III 微分の応用
y=x^2/2とy=a(>0)で囲まれた図形をy軸まわりに回転してできる立体を容器と考える。このとき、x軸は水面上にあり、y軸は水平面に垂直とする。 毎秒体積vの水を注ぐ。ただしvは定数。以下の値をv,aを用いて表せ。 水面の高さがa/2に達するのは何秒後か。またその時の水面の半径r,高さhの増加する速さ、半径の増加する速さを求めよ。 よろしくお願いします。
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まず、水面の高さがhであるときの水の体積V(h)は、 V(h)=pi*h^2. ですからこれを時間tで微分して、dV/dt=2*pi*h*(dh/dt). dV/dt=v(定数)ゆえ、dh/dt=v/(2pi*h), .... 高さの増加する速さ. また、高さがhであるとき、水面の円の半径は r=√(2h) ですから、 dr/dt={1/√(2h)}*v/(2pi*h). などを参考にしてまとめてください。
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お礼
無事に解けました。ありがとうございました。