教えて下さい

質問

y=-cosx (0<=x<=π)をｙ軸の周りに一回転した時にできる容器に、ｙ軸を鉛直にして毎秒ａcm^3 の割合で水を入れる
(1)水面の半径がx(0<=x<=π)となったときの体積V(x)は
V(x)=π*∫(0～π) x^2 sinx dx で表されることを示せ
(2)V(x)を計算せよ
(3)水面の半径xの増加する速度をxで表せ
という問題がどうすればいいのか分かりません。教えて下さい。(2)は、普通に積分する以外に何かしなくてはならないことが有るのでしょうか？

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

え～と，どうしたらいいかな．

(1) dV = πx^2 sin x dx の両辺を積分したと考える．
積分の下限は x=0 のとき V=0 になるように(題意からそうですよね)
選んでいる．

(2) dV/dx = πx^2 sin x，
つまり，V を x で微分したものが πx^2 sin x だから，
もとの V に戻すには積分すればよい．
積分の下限については(1)と同様の考え．

(1)(2)のどちらかでどうですか．

それから
V(x) = π ∫(0～x) x^2 sin x dx
の積分範囲の上限の x と被積分関数の x とは別物だというのは
大丈夫ですよね．

お礼

ありがとうございました。一応(2)でいってみます。

回答No.1

siegmund

V(x)=π*∫(0～π) x^2 sin x dx
ではなくて
V(x)=π*∫(0～x) x^2 sin x dx
ですね．
もとのままだと，x に関係なくなっちゃいますよ．

(1)は積分の基本です．
【細かく分けておいて足し合わせる】
面積でも何でも同じ思想です．

半径が x～x+dx の部分の体積 dV を考えればいいのです．
dx は小さいから円板と見てさしつかえありません．
半径はもちろん x，
厚さは {-cos(x+dx) + cos x} = sin x dx
したがって，
dV = πx^2 sin x dx
です．
考え方は面積でもなんでも同じですから，必ずマスターしてください．
と言ったって，何も難しいところはありませんよね．

dV がわかったから，半径が x のときは
V(x) = π ∫(0～x) x^2 sin x dx
です．

(2)は普通に部分積分でしょう．
(3)は
dx/dt = (dx/dV)(dV/dt)
で，題意から dV/dt = a ですね．
dx/dV = 1/(dV/dx) は大丈夫ですよね．

あとはお任せします．

補足

0～xです。失礼しました。

どうやってdV = πx^2 sin x dx から
V(x) = π ∫(0～x) x^2 sin x dx になったのかよく分かりません。教えていただけないでしょうか?