高校数学の不等式の問題です

質問

nは25以上の定数、x,y,zは負でない整数でx+y+z=25のとき、(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めよ

解説はたとえばx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより

大きくすることが出来る、したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるが
そうなる{x,y,z}の組は{8,8,9}しかありえない　

とあるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るとありますが、これが何故そんな事が言えるのかまったく分からないです

その後のしたがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるも何故なのか分かりません

是非とも詳しい解説のほうよろしくお願いします

回答No.40

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

解法を探るシミュレーションなんてかったるいけど
こんなかんじかな。

まず、与式ではやりにくいから
全体に定数n^3をかけると

(n-x)(n―y)(n-z)

これを最大化すればよい。

仮にy=5ときめると、z=25-x-5=20-×
(n-x)(n―y)(n-z)だから(n-x)(n―y)(n-z)=(n-y)(n-x)(n-20+x)
=(n-5)(n^2-20n-20x-x^2)

(n-5) は固定、(n^2-20n+20x-x^2)はxの2次式だから
x=10 がピーク

同様に仮にy=6ときめると、z=25-x-6=19-x
(n-x)(n―y)(n-z)=(n-6)(n^2-19n+19x-x^2)

x=9と10でピーク。

つまり、z=x±1(x+zが奇数)、z=x(x+zが偶数)
でピークになる。→|z-x|≧2ならピークではない。

お礼

>n^3をかけると
かけると綺麗になりますが、掛けた後の最大値とかける前の最大値は同じなのですか？

補足

>こんなかんじかな。
はい、正にそれです、そんな感じで途中までどう考えたかを知りたかったんです、じっくり読んで疑問が出たらお礼の所に書きますね、御返答有難うございます

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

条件式も与式もx, y, z に関して完全に対称ですから、
得られた結論は、x, y, z を入れ替えてもなりたつ。つまり、

>x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより
>大きくすることが出来る

には全部で6パターンあり、全て成り立つということです。単純でしょ？

例

z-x>=2とすると,yをそのままにし、zを1小さくxを1大きくすることによって与式をより
大きくすることが出来る

y-x>=2とすると,zをそのままにし、yを1小さくxを1大きくすることによって与式をより
大きくすることが出来る

お礼

御返答有難うございます

補足

はい、x,y,zは対称ですから、それらの式が成り立つのは分かるのですが、問題はx-z>=2とすると,yをそのままにし、

ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るという事実は、実際に式にxやzをx-1やz+1を代入して

x、zのままの式を引いて正だと分かるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、

ｘを1小さくzを1大きくするという事を何故やろうと言う事に至ったのかという事と

3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるというのが何故そう言えるのかが分からないです

回答No.7

Tacosan

そんな感じです＞#5.

「x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来る」
はちょっと考えればわかるはずですよ. 本質的には
x+y が (正で) 一定のとき xy の最大値はいくつ?
と同じことです.

でもって「したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となる」は x, y, z の対称性を考えればいいだけ... まあ厳密には「最大となる」は勇み足 (だから #5 も本当はちょっとまずい) ということになるんだけど.

お礼

御返答有難うございます

補足

>x+y が (正で) 一定のとき xy の最大値はいくつ?
これはx+y=kとおいてy=k-xですからxyに代入してx(k-x)=-(x-k/2)^2+k^2/4とって最大値はk^2/4ですが何でこれと同じことなのですか？

>3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となる」は >x, y, z の対称性を考えればいいだけ...
これも何の事かよく分からないです、x,y,zが対称なのは分かりますが

回答No.6

noname#199771

#1です。

＞どうしてこういう事をするという
＞方針になるのか

与式を最大にするのがいつなのか
を知りたいわけですからx+y+z=25
という制約条件のなかで変数を
少し動かすとどういう変化をするのか
を調べるのは有力です。

この問題とは関係ありませんが微分
法を使って関数の最大最小を調べる
のに近い発想でしょう。

＞7以下が一つあると残り2つは何故
＞8以下になるんですか？

x-z>=2とするとそれより与式が大きく
なるようなx,y,zの組み合わせが別に
作れることがわかったわけですよね。

この条件はx,y,zを入れ替えてもその
ままいえるので、最大値を考える場合
に、結局x,y,zの中で互いに2以上離れた
状態は除外できることになります。

この問題は易しくないと思いますよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

>x-z>=2とするとそれより与式が大きく
>なるようなx,y,zの組み合わせが別に
>作れることがわかったわけですよね。
これがどういう事なのか分からないです、yはそのままにしておくと言うことですよね？

＞結局x,y,zの中で互いに2以上離れた
＞状態は除外できることになります。

これも何の事か分からないです

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

ANO2 です。こんな感じかな。

ANO2 の考察で、３個の数字のうち、互いの差の絶対値が２以上のものがあれば、それは最大ではない。
つまり最大の組み合わせでは使える数字は１種類だけか、２種類の連続したものに限られる。

25は３で割り切れないので１種類は却下。

7, 8 では 25 には小さすぎるし、9, 10 では大きすぎる。従って、8, 9 しかない。

従って (8, 8, 9)

お礼

御返答有難うございます

補足

>３個の数字のうち、互いの差の絶対値が２以上のものがあれ
>ば、それは最大ではない。
何でこれはそう言えるのですか？

>つまり最大の組み合わせでは使える数字は１種類だけか、２種>類の連続したものに限られる。
これも何故そう言えるのですか？

>25は３で割り切れないので１種類は却下。
何度も申し訳ないですが、これも何故そう言えるのか分かりません

回答No.4

Tacosan

3乗しちゃダメじゃん＞俺.

厳密に証明すると難しいねぇ. 相加相乗ベースでいけそうな気もしないではないんだけど.

お礼

御返答有難うございます

補足

そうなのですか、やってみますね

回答No.3

Tacosan

3乗してから相加平均と相乗平均の関係を使うのが吉.

お礼

御返答有難うございます

補足

そうなのですね

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

不等式が見当たらないけど・・・　それはおいといて

増えるかは引いてみればわかります。案ずるより産むがやすし

(x - z >= 2) なら

変化量Δ=
(1-(x-1)/n)(1-y/n)(1-(z+1)/n) - (1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)
= (1/n^2)(n-y)・{(n-x+1)(n-z-1)-(n-x)(n-z)}
= (1/n^2)(n-y)・{n-z - n + x -1}
= (1/n^2)(n-y)・{x - z -1} > 0

対称性から、x と y や y と z にも同じことが言えるし、
2変数を入れ替えて同じ。つまり2変数の差の絶対値が 1以下の時が最も大きくなる
ので、2変数の差の絶対値が2以上なら改善できる。

後は x <= y <= z としても一般性は失われないので、

(x, y, z) の初期値を (0, 0, 25) とすると

⇒ (0, 12, 13) ⇒ (6, 6, 13)⇒ (6, 9, 10) ⇒ (7, 8, 10)
⇒ (7, 9, 9)⇒ (8, 8, 9)

後はこれが最良だと示せばよさそうですね。
直感的には明らかですが、厳密な証明がいまちょっと思い浮かびません(^^;

お礼

御返答有難うございます

補足

>x - z >= 2) なら
まずこういう事をやろうと思った着想が分かりません、これは定石なのですか？

>変数の差の絶対値が 1以下の時が最も大きくなる
これは何故そう分かるのですか？

＞2変数の差の絶対値が2以上なら改善できる
これも何故そう言えるのですか？

> (0, 12, 13) ⇒ (6, 6, 13)⇒ (6, 9, 10) ⇒ (7, 8, 10)
⇒ (7, 9, 9)⇒ (8, 8, 9)

これは何故こういう風に置いていったのですか？

回答No.1

noname#199771

最初のご質問について。

",yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きく"
した式から元の式を引き算して機械的に
計算すれば非負であることがわかります。
計算してみてください。

2番めのご質問について。

もし一つでも7以下の数があったら残りの
2つの数はどちらも8以下である必要があり
ますが、全部足しても最大7+8+8=23にしか
ならずに25になりません。

一方一つでも10以上の数があったら残り
の2つの数はどちらも9以上である必要が
ありますので、全部たすと最小10+9+9=28
になってしまい25になりません。

お礼

御返答有難うございます

補足

>計算すれば非負であることがわかります。
確かに計算して非負ですから大きいのは分かりますが、どうしてこういう事をするという方針になるのかが分からないです

>もし一つでも7以下の数があったら残りの
>2つの数はどちらも8以下である必要があり
>ます
これが何故そうなのか分かりません7以下が一つあると残り2つは何故8以下になるんですか？

一方一つでも10以上の数があったらの所も同じ疑問で分かりません