高校数学の問題について

質問

xの二次方程式x^2-38x+338の値がある整数の二乗になるとき整数xの値を求めよ。

という問題で解答では、初めに与式＝ｙ^2（yは負でない整数）とおくとあるのですがこの負でない整数にする理由がよくわかりません。どうせ二乗するから負でもいいんじゃないか？とおもうのですが‥‥‥答えはyが整数で考えてもダブりますがでてきます。このダブりをなくすためでしょうか？

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

>初めに与式＝ｙ^2（yは負でない整数）とおくとあるのですがこの負でない整数にする理由

　ここだけで考えてもいいかもしれません。その結果どうだったか、というのは後で考えて大丈夫です。

　y^2というのは（虚数を使わない限り）必ず0以上です（y^2≧0）。y≧0でも0≧yでもいい、つまりyの正負を気にしないでいることも可能です。ただし、普通、「yは正負どちらでもよいし0でもよい」とは書きませんから、yがそうであることは問題を解く人が覚えておく必要があります。

　そして、例えばy^2={f(x)}^2とできたら、両辺のルートを取って、y=f(x)とできます。でも2乗の中身は正負どちらでも同じ正の値になるのですから、y=±f(x)としたらいいか。あるいは、±y=f(x)でいいのか。いや、±y=±f(x)で4つのパターンを考えないといけないのか。ややこしい感じです。そして、±を付けなければいけないということを忘れがちです。

　一方、無意味なようでも「y≧0」としておけばどうでしょうか（整数なら、負でない整数）。yは負ではないと、最初に意識することになります。同じく、y^2={f(x)}^2にできたとして、y≧0は自分で設定したのですから、正負が分からないf(x)は放っておいて、±yとすればよいこともはっきりします。

　yは負ではないとしたんですから、負の場合も考えてやる必要がある、それなら±yと書かないといけない、ということですね。そして、「y≧0」と自分で書いたのが見えますから、±yにすることを忘れにくいです。

「y≧0」「yは負でない整数」とした時点では、特に意味はありませんし、問題を解き終えるまで必須でもありません。しかし、間違いなく解きやすくなることがよくあるのです。そういう、いつも使ってよいコツということです。

　解いてみていないので（すみません）、「yを負でない整数とする」ことが、解き方に有効に働くかどうか、つまり解きやすくなるかどうかは分かりません。無駄であっても正しい答は出て来ますし、もし解きやすくなれば、もうけものです。そして、滅多に邪魔になることはありません。その程度のコツです。

お礼

わかりやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.5

stomachman

「もしf=c^2 なら、（fとcが何であれ） f=(-c)^2 でもある。だから、与式がfだとすると『fがある整数の二乗になる』とは
　　∃c(cは整数 かつ f = |c|^2)
ということだ。そこで|c|をyと書こう。」という解答の冒頭部分が（あんまりアタリマエだから）飛ばしてある、と思えばいいでしょ。いやもちろん、|c|のまんまで進んでも一向に構わない。

　ついでながら、x^2-38x+338は「xの二次式」であって、「xの二次方程式」ではない。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

spring135

x^2-38x+338=y^2

整理して

(x-19+y)(x-19-y)=23

x,yが整数という条件なので

x-19+y=±23

x-19-y=±1

（復号同順）

又は

x-19+y=±1

x-19-y=±23

（復号同順）

これらの解は

(x,y)=(31,±11),(7,±11)

で、結局yがプラスかマイナスかは決着がつかないのですが、これは問題を振り返ってみると当然ともいえます。

従って、最初からy>0としてもx=31または7という解は落としていないわけです。

しかしy=-11はどうなのかというとこれも立派な正解を与えます。

従って最初にyについて断るときに

「yは正の整数とする。しかし絶対値が同じで負のyも当然同じ解を与えるので±yが条件を満たすものである。」

とでも言っておくべきです。

「yは正の整数とする。」というのは、可能な限り解を限定してかかるのが余計な結果が紛れ込ませないようにするための適切なやり方だと思われます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＞このダブりをなくすためでしょうか？

でしょう。x を計算するのに y はどっちでも同じですから。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

hashioogi

結局、
x-y=20
x+y=42
または
x-y=42
x+y=20
の連立方程式を解くことになるから、式の形から考えてダブりをなくすためかもしれないね。

お礼

ありがとうございます。