数学 中3内容の問題 教えて下さい

質問

新高校1年生です。先日中学の内容の問題のテストがあって、違えたところを解き直そうと思ったのですが、考えてもわからない問題が3つありました。回答解説をもらってないので教えていただきたいと思います。
1.(x+4)の二乗-x(x-4) を簡単にしなさい。
2.(x-3y)の二乗-(x+2y)(x-2y) を簡単にしなさい
3.連立方程式x-2y=4
ax+y=7
を満たすX、Yがともに整数になるような正の整数aをすべて求めなさい。

という問題です。1と2に関しては簡単にしなさいの意味すら曖昧なので教えて下さい。なるべく途中式も書いていただけるとうれしいです。

3は求め方が分からないので求め方も教えてください

回答No.5

Kiritsugu_Emiya

中学数学の教科書を見れば分かりますよ

回答No.4

shuu_01

＞　(2、1)を通った時の…ということは、
＞　グラフで考えるということですよね？

そうです。少し遅くなりましたが、グラフを添付して
おきました

y ＝ ーax ＋ 7　と　y ＝ ー1/2 x ー2 の
交点を考えることになります

今回は　a　は正の整数ということで、範囲が絞りやすく
なってますが、別に負の整数とかゼロのを含めても
同じように考えるとことができます

a ＝ 0　　の時、x ＝ ー18　、y ＝ 7

a　＜ 0 　の時、傾きがもっとも大きくなるのは、
点（ー2, ー3）を通ってた時の　a ＝ ー5 です

ー５～ー１の範囲を調べると良いです

x ＝ 18 / （2a ＋ 1）ですので、x が整数になるのは

a ＝ー１、ー２、ー５ の時とすぐ判断できます

回答No.3

room41

「簡単にしなさい」は「展開しなさい」だと思います。
展開は因数分解の逆の意味です。

二乗は^2で表記します。
積は基本省略、書くときは*で表記します。

1.
　(x+4)＾2-ｘ(ｘ-4)
＝x^2 + 8x + 16 - x^2 + 4x
＝x^2 - x^2 + 8x + 4x + 16
＝12x + 16

A：12x + 16

2.
　(x-3y)^2-(x-2y)(x+2y)
＝x^2 -6xy +9y^2 - x^2 - 2xy + 2xy +4y^2
＝x^2 - x^2 - 6xy - 2xy + 2xy + 9y^2 + 4y^2
＝-6ｘｙ + 13y^2

A：-6ｘｙ + 13y^2

3.
式(1) x - 2y = 4
式(2) ax + y = 7

aの値を考える時、式のなかのyが邪魔なので消します。

式(1) + 式(2)の2倍
つまり
　式(1) x - 2y = 4　+　式(2)の2倍 2ax + 2y = 14
x + 2ax -2y +2y = 18
x + 2ax = 18

となり、ｙが消えました。

次に、ｘについて因数分解をします。
x + 2ax
＝ x(2a + 1)

このｘ(2a + 1) = 18 となる a の値を探します。そのとき、 ｘ は整数である必要があることも忘れずに。

例(1) a に 1 を代入した場合
x(2*1 + 1) = 18
3x = 18
x =6

となり、答えの一つ目は 1 である事が分かります。
念のため、式(1)に a = 1 、 x = 6 を代入すると、 y が 1である事が分かります。

例(2) a に 2 を代入した場合
x(2*2 + 1) = 18
5x = 18
x = 3.6

となり、ｘが整数になりません。よって2 は答えではありません。

例(3) a に 3 を代入した場合
x(2*3 + 1) = 18
7x = 18
x ≒ 2.57

となり、ｘが整数になりません。よって3 も答えではありません。

例(4) a に 4 を代入した場合
x(2*4 + 1) = 18
9x = 18
x =2

となり、答えの二つ目は 4 である事が分かります。
念のため、式(1)に a = 4 、 x =2 を代入すると、 y が -1である事が分かります。
a は正の整数と指定がありますが、xとyについては整数とだけ指定されているので、ｙが負の整数でもOKです。

よって回答は
A：１,４
となります。

3.のコツは
(1)計算するのに邪魔な値（今回はｙ）を消すこと
(2)ｘ（2a + 1） = 18 の（）の中2a+1 が18の約数（1、２、３、６、９、１８）に必ずなる事を見抜くこと
の2点です。

お礼

3の問題がとても丁寧でよくわかりました。また表記の仕方も教えていただき、すごくためになりました。ありがとございました。

回答No.2

shuu_01

問題 1.、2.　は No.1 さんの回答の通りです

ただ、問題 3. x、y、a すべて 正の整数なら
No.1 さんの回答の通りですが、
x、ｙは ０ とか 負の整数でも OK なのです

a は野放図に大きくなるかと言うと、

y ＝ 1/2 x ー２ 上に x、y が整数となる点を
いくつかプロットしてみてわかるように、
最大で （２、1）を通った時の a ＝ 4 です

つまり、a は １～4 を調べれば良く、
x、y も整数となるのは

a ＝ 1　の時、x ＝ 6、y ＝ 2
a ＝ 4　の時、x ＝ 2、y ＝ ー1

お礼

(2、1)を通った時の…ということは、グラフで考えるということですよね？
そういう方法もあることがわかってよかったです。とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

shiroya

(x+4)²-x(x-4)
＝x²+8x+16-x²+4x
＝12x+16
＝4(3x+4)

(x-3y)²-(x+2y)(x-2y)
=x²-6xy+9y²-x²+4y²
=13y²-6xy
=y(13y-6x)

x-2y=4
x=4+2y
a(4+2y)+y=7
3y+4a=7
a=1

＞簡単にしなさいの意味すら曖昧
落ちこぼれるよ。
50の専門卒のおっさんでさえこの程度まだ解けるぞ。

しっかりしろよ。
がんばれ。

お礼

自分でもしっかりしなきゃなって思います。落ちこぼれるのは嫌なので、ちゃんと勉強します。
1 .2の問題がすっきりまとまっていて、分かりやすかったです。ありがとうございました。