中３数学この問題がわかりません（関数）

質問

2次関数Y＝ax２乗・・・(1)のグラフは
点A（４，２）を通っている。
Y軸上に点ＢをAB＝OB（Oは原点）となるようにする。

（１）BのY座標を求めよ

（２）∠OBAの二等分線の式を求めよ

（３）(1)上に点Cをとりひし形OCADをつくる。
　　　Cのx座標をtとするときtがみたすべき
　　　二次方程式を求めよ。
　　　また二次方程式が（t＋a）２乗＝ｂ
　　（ただしa、ｂは実数）と変形できることを
　　　用いてｔを求めよ。

この問題がわかりません。
わかるかた求める式も一緒に教えてください。

回答No.5

Rice-Etude

(3)の問題でひし形とあるので、すべての辺の長さは等しい（条件α）となります。
ここで
No.2で書いた
(線分OCの長さ)^2＝(t-0)^2+(at^2-0)^2
と、33033_1が補足で書いた
(線分CAの長さ)^2＝(4-t)^2+(2-at^2)^2
の式を見比べてください。左辺同士は条件αより
(線分OCの長さ)^2＝(線分CAの長さ)^2
となるので、当然左辺同士もイコールで結べるので
(t-0)^2+(at^2-0)^2＝(4-t)^2+(2-at^2)^2（式β）
となります。

式βの左辺を展開するとt^2+a^2t^4、右辺は16-8t+t^2+4-4at^2+a^2t^4となります。

※補足で書いていただいた展開式は間違ってます。最初の括弧の中は4-tなので展開すればtの最高次数は2次に、最後の括弧の中は2-at^2なので展開すればtの最高次数は4次になります。

あとはこれをどちらかの辺にまとめれば
4at^2+8t-20=0
両辺を4で割れば
at^2+2t-5=0（式γ）
となります。

大元の題意「2次関数Y＝ax^2のグラフは点A(4,2)を通っている」ことから、
2＝a×4^2
より、a=1/8となるので、式γに入れ、両辺を8倍すると
t^2+16t-40=0
となります。これが求める2次方程式で、これを解の公式に入れればtが求まります。なお、問題に当てはまるひし形は2種類ありますので、答えも二つになります。

ところで、(t+a)^2=bを用いるとあるのですが、普通こういうお題の場合はこの式を式γに入れてみて、aが消去できることを利用するのですが、この問題ではaもbも残ったままになるので、簡単には求まりません（そもそも(t+a)^2=bと変形する意味がない）。また、最後の答えも綺麗な有理数にならないのですが、全体の問題は間違っていませんか？

お礼

ありがとうございます。問題の最後に
また二次方程式が（t＋a）２乗＝ｂ
　　（ただしa、ｂは実数）と変形できることを
　　　用いてｔを求めよ
とあるのですが代入して計算してみると答えがでないんです。
tの値は何になりましたか？

回答No.4

Rice-Etude

どのように式を立てて計算し、どこで詰まったか補足していただけますか？

※33033_1さんがいくつか数学のカテゴリーで質問されていますが、どの質問も問題だけ書いて「教えてください」としか書いていないと、宿題などの丸投げのように見えます。この行為は禁止はされてないですが、
http://oshiete1.goo.ne.jp/pophelp.php3?page=1&advice=czoyODQ6IsX2pbWlpKXIpMekz7Ldwuqk5KXspd2hvKXIoaKk3qS/y93M9bDNzeqkyqTJpPK8wczkpMikt6TGxeq5xqS5pOu79ryrws6kz7bYu9+kt6TGpKqk6qTepLuk86SsoaK08MvcxaqkyqXepcqhvKTIpLekxqGipLS8q7/IpMekoqTrxPjF2czkwuqy8rfopMu86KTqwcik3qTspL++5aTHpM61v8zkxcCk5MzkwurFwKGipKq6pKTqpM7FwKTyzMCzzqTLpLekxqS0xeq5xqSkpL+kwKStpL+kpKTIuc2kqKTGpKqk6qTepLmho6SzpM7FwKGipLTH2864pKSkv6TApK2k3qS5pOikpqSqtOqkpL+9pLe+5aSypN6kuaGjIjs=
にもあるとおり歓迎されない行為です。できたら、どこどこまで式を立ててみたけど答えが出せないとか、こういう方針で解こうとしたけどここで詰まったとか、自分の解答を途中まででも良いので書くほうが良いでしょう。

お礼

点C(t,at^2)と点A(4,2)を２点間の距離を求める式にあてはめると
（４－ｔ)＾２＋（２－at^２）^２ですよね？
これを計算すると　
２０－８t^２＋t^２－４at^２＋at^２
ですか？
これからどうすればよいのですか？

回答No.3

Rice-Etude

(2)は正解です。

(3)ですが、点C(t,at^2)と点A(4,2)の座標をそのまま2点間の長さの公式に入れることができませんか？No.2で書いた
(線分OCの長さ)^2＝(t-0)^2+(at^2-0)^2
も、点O(0,0)と点C(t,at^2)を2点間の長さの公式にそのまま当てはめただけです。座標が文字で書いてあっても、そのまま代入すれば良いです。

お礼

（３）の答えがいまいちわかりません。すいません。
けいさんしたのですがこたえがでません。

あとRice-Etudeが求めてくれたのは２次方程式ですよね？

ｔの値の求め方も教えてください

回答No.2

Rice-Etude

No.1です。

(1)は補足で書いてある通り5です。

(2)で中点とは「二つの点を直線で結んで、その線分を二等分する点」のことです。このとき、その2点（点O(0,0)と点A(4,2)）のx座標、y座標それぞれが中間の値ということです。つまり中点の座標＝(0と4の真ん中の値,0と2の真ん中の値）となります。
まずは三角形OBAを作図すると良いでしょう。このとき三角形OBAは問題(1)より二等辺三角形になりますよね？その三角形の角Oを二等分すると、その三角形OBAはどのように分割されるかと考えていけばわかりやすいでしょう。
※別解として、もし「垂直に交わる直線の傾きの値から積を求めると-1になる」というのを習っているのなら、上の作図から傾きhを先に求めてしまってから、直線の式に代入するという手もあります。

(3)(1)の解が得られているのでお分かりだと思いますが、三平方の定理から
(2点を結ぶ線分の長さ)^2＝(2点のx座標の差)^2+(2点のy座標の差)^2
で求められます。
点Cを(t,at^2)の座標で置くとして、これと点Oとの長さ（の2乗）を考えると
(線分OCの長さ)^2＝(t-0)^2+(at^2-0)^2
となります。同様に点Cと点A(4,2)との長さ（の2乗）の式を求めた上で、ひし形なので(線分OCの長さ)^2＝(線分CAの長さ)^2と考えれば、 tの方程式が見えてくると思います。

お礼

（２）わかりました！
Ｙ＝－２ｘ－５ですかね？
（３）がまだよくわからないので答えと求める式教えてもらえますか？
その求め方を見て理解したいです。

回答No.1

Rice-Etude

答えをそのまま書くと勉強にならないので、ヒントを書きます。

(1)点BはY軸上なので、B(0,y)でかけます。あとは2点間の長さの公式があるはずなので、それにA(4,2)B(0,y)の時とO(0.0)B(0,y)の時（これは長さがyになるのは分かりますか）をイコールで結べばyの方程式になります。

(2)求める直線をy=hx+kと置きます。そのとき
・この直線は(1)で求めた点Bを通る ⇒ 求める式のx,yに代入
・点Oと点Aとの中点もこの直線を通る ⇒ 中点を求めてから同様に代入
とすればhとkの連立方程式になります。

(3)点Cは2次関数で表される曲線上にあるということは、点C（t,at^2)となります。ひし形の条件から線分OC＝線分CAとなるので、それぞれの座標から2点間の長さの公式に代入してイコールで結べば、tの方程式が書けます。

共通して言えることは「面倒くさがらずにすべての点を座標で表現すること」です。

お礼

ありがとうございます。　
（１）はできました。５ですよね？
（２）は中点を求めるというのがよくわからないのでおしえてもらえますか？
（３）は解説の意味がいまいちわからないので求める式と一緒におしえてもらえますか。

すいません。