数学の問題です

質問

ｙ=２ｘ２（２エックスの２乗）のグラフ上の点AのX座標を２とし、点Bのｘ座標をaとする。

三角形OABの面積が9分の１６であるときのaの値を求めよ。（Oは原点です）

答えはa=3分の２、３分の４、3分の３±ルート１７です。

しかし、答えへのプロセスがわかりません。

よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#146456 · ベストアンサー

最初の回答で最終段階で計算ミスをしてしまいました。

その訂正も兼ねまして別の方法で回答してみます。

【解法1】計算は面倒だが一番素朴な方法
A(2,8)なのでOA=√(4+64)=√68=2√17となります。
よってOAを底辺と見て高さをhとおくと
（△OABの面積）=(1/2)×OA×h=(1/2)×2×√17×h=√17h
となります。
これが16/9になるので
√17h=16/9
∴h=16/(9√17)
となります。

すると直線OAの式はy=(8/2)x=4xとなるのでこれに垂直な
直線の傾きは-1/4になります。
するとB(a,2a^2)を通る傾きが-1/4の直線の式は
y=-(1/4)(x-a)+2a^2=-(1/4)x+a/4+2a^2
となります。

よってこの直線と直線OAとの交点をCとおくと
4x=-(1/4)x+a/4+2a^2より
x=(8a^2+a)/17
∴y=4x=4(8a^2+a)/17
となるので
C((8a^2+a)/17,4(8a^2+a)/17)
となります。

するとB(a,2a^2)とC((8a^2+a)/17,4(8a^2+a)/17)の距離は
2点間の距離の公式より
BC=√[{a-(8a^2+a)/17}^2+{2a^2-4(8a^2+a)/17}^2]
=√[{(8a^2-16a)/17}^2+{2a^2-4a)/17}^2]
=√[{8a(a-2)/17}^2+{2a(a-2)/17}^2]
=√[17*{2a(a-2)/17}^2]
=(2/√17)|a(a-2)|
となります。

これがh=16/(9√17)に等しいので
(2√17)|a(a-2)|=16/(9√17)
∴|a(a-2)|=8/9
∴a(a-2)=±8/9
となります。

すると
a(a-2)=8/9のとき：
a^2-2a-8/9=0
∴9a^2-18a-8=0
となるので
a={18±2√(81+72)}/18
=(18±6√17)/18
=(3±√17)/3
となります。

a(a-2)=-8/9のとき：
a^2-2a+8/9=0
∴9a^2-18a+8=(3a-2)(3a-4)=0
となるので
a=2/3,4/3
となります。

この方法が一番思いつきやすいと思いますが見てのとおり計算が
大変面倒です。

次に点と直線の距離の公式を用いてBCを直接求める方法でやってみます。
この公式を用いると計算が大幅に簡単になります。

【解法2】点と直線の距離の公式の利用
直線OAの式はy=4x⇔4x-y=0なので点と直線の距離の公式より
BC=|4a-2a^2|/√(16+1)=(2/√17)|a(a-2)|
となります。

これがh=16/(9√17)に等しいので
(2√17)|a(a-2)|=16/(9√17)
∴|a(a-2)|=8/9
∴a(a-2)=±8/9
となり後は【解法1】と同じになります。

このように点と直線の距離の公式は公式自体はゴツイですが慣れれば
とても便利な公式になります。

ぜひ覚えておくことをお薦めします!!

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

また2通りの解き方までありがとうございます。

助かりました。

回答No.2

kakehasi

３点A,B,Oの座標が
A(a,b)
B(c,d)
O(0,0)
であるとき、三角形の面積Sは
S=1/2｜ad-bc｜
で表せます。
そこで
A(2,8)
B(a,2a^2)……a^2はaの2乗を表します
O(0,0)
であることから
S=1/2｜ad-bc｜=1/2｜2*2a^2-8*a｜=16/9……*は×(掛ける)を表します
計算して
±32/9=4a^2-8a
から
a=(18±√(324±288))/18
となり
a=(18±√(324+288))/18=(3±√17)/3
a=(18+√(324-288))/18=4/3
a=(18-√(324-288))/18=2/3
となります。

お礼

回答ありがとうございます。
助かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

noname#146456

与えられた条件より
A(2,8)、B(a,2a^2)
となります。

すると
OA↑=(2,8)
OB↑=(a,2a^2)
となるので

|OA↑|=√68
|OB↑|=√(a^2+4a^4)=|a|√(1+4a^2)
OA↑・OB↑=2a+16a^2=2a(1+8a)
となります。

よって
△OAB=(1/2)√{|OA↑|^2・|OB↑|^2-(OA↑・OB↑)^2}
=(1/2)√{68a^2(1+4a^2)-4a^2(1+8a)^2}
=|a|√(17+68a^2-1-16a-64a^2)
=|a|√(4a^2-16a+16)
=2|a|*|a-2|
=2|a(a-2)|
となります。

するとこれが16/9になるので
|a(a-2)|=8/9
∴a(a-2)=±8/9
∴a^2-2a-8/9=0⇔9a^2-18a-8=0
⇔a=(1/18){18±2√(81+72)}=1±√17
または
a^2-2a+8/9=0⇔9a^2-18a+8=(3a-2)(3a-4)=0
⇔a=2/3,4/3
となります。

以上から求めるaの値は
a=2/3,4/3,1±√17
となります。