数学の質問です。宜しくお願いします。

質問

数学の問題なのですが、解説を読んでも
理解できません。
得意な方、どうか教えてください。

直線2x+k(k>0)と円x^2+y^2=2は、
異なる２点A,Bを共有している。
△OABの面積が最大になるときのkの
値として正しいものは次のどれか。
※Oは円の中心である原点とのことです

答えはルート5です。
なぜルート5が導き出されるのかがわからなくて
困っています。
宜しくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

質問
>直線2x+k(k>0)と円x^2+y^2=2は、
異なる２点A,Bを共有している。

「直線2x+k(k>0)」は直線の方程式ではなく、単なる式しか表していません。従って直線が存在しなければ交点A,Bも存在しません。
この問題文では解くことは不可能です。
問題にミスがあると思われます。

直線ならおそらく
　「y=2x+k(k>0)」とか「2x+k=0(k>0)」と書くべきでしょう。
どちらかでしょう。どちらですか。
前者は傾き2,y切片kの直線、後者はy軸に平行でx切片が(-k/2,0)の直線にの方程式になります。

前者の場合なら
直線と原点の距離d（△OABの高さ）は点(0,0)と直線の距離の公式から
d=k/√(2^2+(-1)^2)=k/√5
となります。
△OABの面積S=(1/2)OA*OB*sin∠AOB=(1/2)*(√2)*(√2)sin∠AOB
=sin∠AOB≦1(等号は∠AOB=90°の時)
Sが最大値1をとるとき△OABは直角二等辺三角形となり辺ABと原点の距離（=△OABの高さd）は辺の比から1と出ますから
　d=k/√5=1
これから　k=√5が得られます。

後者の場合なら
直線と原点の距離d（△OABの高さ）は点(0,0)と直線のx切片(-k/2,0)との距離になるから
d=|(-k/2)-0|=k/2 (∵k>0)
となります。
前者の場合と同様に
△OABの面積S=(1/2)*OA*OB*sin∠AOB=(1/2)*(√2)*(√2)sin∠AOB
=sin∠AOB≦1(等号は∠AOB=90°の時)
Sが最大値1をとるとき△OABは直角二等辺三角形となり辺ABと原点の距離（=△OABの高さd）は辺の比から1と出ますから
　d=k/2=1
これから　k=2が得られます。

以上から、直線の方程式が前者の場合なら答えのk=√5が得られます。
後者の場合なら答えのkは得られません。

答えが正しいとすれば、直線の方程式は前者の場合の「y=2x+k(k>0)」の方でしょう。
（直線の式が後者の場合であれは答えがk=2となりますね。）

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
前者の解説で問題ありませんでした。
とても丁寧に解説して頂き、本当に助かりました。

回答No.2

USB99

sin AOB＝1のとき、最大。この時、直線と中心Ｏとの距離は１になる。（ＡＢの中点をＨとするとＯＨ＝１になるという意味）
直線の式をｙ＝２ｘ＋ｋとすると、原点からの距離は｜ｋ｜／√（１^2＋２^2）となるから
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance.htm
これが１でないといけない。ｋ＞０よりｋ／√５＝１
∴ｋ＝√５

お礼

URLまで付けて頂き、大変ありがとうございます。
高校数学は難しいですが、教えていただいたことを復習し、努力したいと思います。

回答No.1

j-mayol

△ＯＡＢの面積は1/2・ＯＡ・ＯＢ・sinAOBで求められますね。
ＯＡ＝ＯＢ＝√２ですからsinAOBが最大のとき△ＯＡＢが最大になると考えて行けばよいと思います。

お礼

お早い回答ありがとうございます。
初めて質問して、初めて回答が返ってきたので、とても嬉しかったです。