高校数学の不等式の問題です

質問

nは25以上の定数、x,y,zは負でない整数でx+y+z=25のとき、(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めよ

解説はたとえばx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより

大きくすることが出来る、したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるが
そうなる{x,y,z}の組は{8,8,9}しかありえない　

とあるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るとありますが、これが何故そんな事が言えるのかまったく分からないです

その後のしたがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるも何故なのか分かりません

是非とも詳しい解説のほうよろしくお願いします

回答No.40

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

解法を探るシミュレーションなんてかったるいけど
こんなかんじかな。

まず、与式ではやりにくいから
全体に定数n^3をかけると

(n-x)(n―y)(n-z)

これを最大化すればよい。

仮にy=5ときめると、z=25-x-5=20-×
(n-x)(n―y)(n-z)だから(n-x)(n―y)(n-z)=(n-y)(n-x)(n-20+x)
=(n-5)(n^2-20n-20x-x^2)

(n-5) は固定、(n^2-20n+20x-x^2)はxの2次式だから
x=10 がピーク

同様に仮にy=6ときめると、z=25-x-6=19-x
(n-x)(n―y)(n-z)=(n-6)(n^2-19n+19x-x^2)

x=9と10でピーク。

つまり、z=x±1(x+zが奇数)、z=x(x+zが偶数)
でピークになる。→|z-x|≧2ならピークではない。

お礼

>n^3をかけると
かけると綺麗になりますが、掛けた後の最大値とかける前の最大値は同じなのですか？

補足

>こんなかんじかな。
はい、正にそれです、そんな感じで途中までどう考えたかを知りたかったんです、じっくり読んで疑問が出たらお礼の所に書きますね、御返答有難うございます

回答No.18

noname#199771

#17ですけど自分で絵描いてみてくださいよ。
どうして絵を描かないかなぁ。

ラフなのを添付するのでこれを参考に。

お礼

御返答有難うございます

補足

これが一辺の長さが2で原点が中心の立方体ですね、原点が中心で一辺が4の立方体も書いてみましたが

一辺が4の立方体以外の格子点は全部Bの中にあるってどういうことですか？どう考えても一辺が4の立方体でない部分でも一辺が2の立方体に含まれない部分が出てきますよ

回答No.17

noname#199771

#16です。

＞|x-y|<=1かつ|y-z|<=1かつ|z-x|<=1です

わかってるじゃないですか。

#14の補足にあなたが書いたことが
間違いだと気づいたわけですね？

そうしたらもうわからない部分はない
ことになるけど。

お礼

御返答有難うございます

補足

あの例はちょっと良く分からないんです、原点を中心とする一辺4の立方体ってどんな立方体なのですか？

立方体の中心が原点ということですか？一辺が2の立方体は一辺が4の立方体の内側にありますよね？一辺が2の立方体の中心も原点ですか？

分からないのは一辺が4の立方体以外の点が全部Bにあるというのがよく分からないです

回答No.16

noname#199771

質問者にお尋ねしますが

|x-y|≧2または|y-z|≧2または|z-x|≧2
の否定が何になるとあなたは考えているか
補足に書いてください。

お礼

御返答有難うございます

補足

|x-y|<=1かつ|y-z|<=1かつ|z-x|<=1です

回答No.15

noname#199771

#14です。

格子点は座標が整数になるような点ですよ。

書いたことに反射的に反応するのではなくて
一旦考えてください。

お礼

御返答有難うございます

補足

>格子点は座標が整数になるような点ですよ。
はい、分かっていますよ

>一旦考えてください。
了解です、勿論考えて書き込んでますよ

回答No.14

noname#199771

#13です。

補足が理解不能です。

何かとんでもない勘違いをしてませんか？

3次元空間の格子点全体（格子点というのは
各座標がすべて整数であるような点のこと）
を考えます。

原点を中心として一辺が4の立方体の外側
と境界（面、辺、頂点）を合わせた部分にある
格子点全体の集合をA

原点を中心として一辺が2の立方体の内側と
境界（面、辺、頂点）を合わせた部分にある
格子点全体の集合をB

として、Aに属さない格子点はすべてBに属する
ことはわかりますか？

お礼

御返答有難うございます

補足

>Aに属さない格子点はすべてBに属する
>ことはわかりますか？
Aに属さない格子点は原点を中心として一辺が4の立方体の外側
と境界（面、辺、頂点）を合わせた部分にある

格子点全体以外の点ですね、これって一辺が4の立方体の内側の格子点ですね、

でもBは一辺が2の立方体の内側の格子点ですから、A以外がBとは限らないのではないですか？、

一辺が2から3の立方体の格子点全体がA以外でBに入らない部分じゃないですか？

回答No.13

noname#199771

#12ですけど、1以下の否定は2以上であり、
2以上の否定は1以下です。

整数値しかとらないんですから。

お礼

御返答有難うございます

補足

あれ、じゃあ対偶の場合と勘違いしているのかも、対偶だったら1より大きいでしたっけ

回答No.12

noname#199771

#11です。

＞>x-y|≧2または|y-z|≧2または|z-x|≧2
＞>の否定ですよ。
＞なるほどx-y|≧2または|y-z|≧2または
＞|z-x|≧2が駄目なのだから、その否定
＞なわけですね、でも否定だったら
＞|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1の
＞等号って入らないんじゃないですか？

不等式の右辺をよく見てください。

＞24は分かりますが25+1はどういうことですか？

失礼！書き損じました。25-1です。

＞>x,y,zのどれかが7と
＞>か10のように8から2以上離れていると条件
＞>に合わなそうとわかります。
＞これは何故そう言えるのか分かりません

え～っとですねぇ
別の説明をしてみましょうか。

クッキーが25個あって
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■
それをxさんyさんzさんの3人で分けるわけです。

xさんが7しか取らなかったら
■■■■■■■　　・・・7個
のこりの18個のクッキー
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■
をyさんとzさんとでわけることになるんで
すけど、どちらも8個以下にすることはでき
ない。どう分けてもyさんかzさんのどちらか
一方は9個以上取ることになっちゃう。
だけどxさんの取り分との差が2以上になって
しまってこれはマズイ。

逆にxさんが10個もとってしまったら
■■■■■■■■■■　・・10個
yさんとzさんの2人でのこった15個
■■■■■■■■■■
■■■■■
を分け合うことになりますが、どう分けても
yさんかzさんのいずれかは7以下にならざるを
得ない。

こんな感じですよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

>不等式の右辺をよく見てください。
どういうことですか？右辺は<=1ですね、この等号が否定だったら無いのではないですか？

>こんな感じですよ。
なんとなく分かってきたのですが、まだ納得できないので、疑問があったらお礼入力の所に書きますね

回答No.11

noname#199771

#10です。

＞>どれかせいぜい48通りしか可能性があり
＞>ません
＞48はどこから出てきたのですか？

2から25までのペアが2つなので
(25-1)×2=48
しかしこの48という数字はどうでも
いいです。重要ではない。

＞>x,y,zについてf(x,y,z)は最大値
＞>をとるでしょうか？
＞分かりません

いや、そこで返答を求めているのでは
なくてその説明が後にあるというレト
リックです。

＞>|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
＞>でなければならないことがわかりました。
＞全部満たさないといけないんですか？
＞
＞|x-y|≦1または|y-z|≦1または|z-x|≦1
＞じゃだめですか？

だめです。だってそれだとたとえば
|x-y|≧2を許容してしまうことになるから。

「PまたはQ」の否定は
「（Pでない）かつ（Qでない）」です。
ド・モルガンの法則。

|x-y|≧2または|y-z|≧2または|z-x|≧2
の否定ですよ。

＞>仮にx,y,zのうちどれか一つでも7以下の数
＞>があったとしましょう。
＞7っていうのはパッとすぐ思いついたのです
＞か？何か根拠があって試してみようと思った
＞のですか？
＞ここが何故いきなり7で試してみようと思っ
＞たのか教えてください

x,y,zは互いに2以上離れていないので
互いに”近い”値になります。
x+y+z=25なのでxもyもzも25を3で割った
数に”近い”はずです。
8×3=24=25+1なのでx,y,zのどれかが7と
か10のように8から2以上離れていると条件
に合わなそうとわかります。
突飛な発想ではありません。

整数の問題は馴染みがないととっつきにくい
かもしれませんがこの問題の解法はわりと
オーソドックスと思います。

お礼

御返答有難うございます

補足

>2から25までのペアが2つなので
>(25-1)×2=48
分かりました

>x-y|≧2または|y-z|≧2または|z-x|≧2
>の否定ですよ。
なるほどx-y|≧2または|y-z|≧2または|z-x|≧2が駄目なのだから、その否定なわけですね、でも否定だったら

|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1の等号って入らないんじゃないですか？

>x,y,zは互いに2以上離れていないので
>互いに”近い”値になります。
>x+y+z=25なのでxもyもzも25を3で割った
>数に”近い”はずです。
なるほど、納得です

>8×3=24=25+1なので
24は分かりますが25+1はどういうことですか？

>x,y,zのどれかが7と
>か10のように8から2以上離れていると条件
>に合わなそうとわかります。
これは何故そう言えるのか分かりません

>この問題の解法はわりと
>オーソドックスと思います。
そうなんですね、定石ってタイプですね

回答No.10

noname#199771

#6です。

＞>x-z>=2とするとそれより与式が大きく
＞これがどういう事なのか分からないです

そうですか、困りましたね。
#1への補足や#2への補足を見る限りそこは
OKと考えているようにみえてたのですが、
なぜ突然「分からな」くなっちゃったので
しょう？この問題が未解決なのに他に同時に
沢山質問していて忘れちゃったとか？

とりあえず以下冗長な説明をしてみます。

f(x,y,z)=(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)
と置いてみましょうか。

＞x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを
＞1小さくzを1大きくすることによって与式
＞をより大きくすることが出来る

というのはx-z>=2のとき
f(x-1,y,z+1)>f(x,y,z)
を意味します。
(x-1)+y+(z+1)=x+y+z=25なので
f(x-1,y,z+1)を計算することには意味があり
ます。
この不等式が成り立つことは質問者さんとし
てはOKなんですか？計算するだけだからもし
OKでないなら手元で計算してください。

＞＞結局x,y,zの中で互いに2以上離れた
＞＞状態は除外できることになります。
＞これも何の事か分からないです

とのことでした。
今与えられている問題は負でない整数x,y,zが
x+y+z=25をみたすという条件の元でf(x,y,z)
の最大値を求めることです。

仮に|y-z|≧2としてみましょうか。
このときy≧z+2かまたはz≧y+2のどちらか
になります。

いちいち書くと、

y=z+2
y=z+3
・・・
y=z+25
あるいは
z=y+2
z=y+3
・・・
z=y+25
のどれかせいぜい48通りしか可能性があり
ません。ただしどの場合もx,y,zは負でない
整数でx+y+z=25を満たすのはもちろんです。

このようなx,y,zについてf(x,y,z)は最大値
をとるでしょうか？

y=z+2のときy-z≧2だからxをそのままにし、
yを1小さくzを1大きくすることによって与式
をより大きくできる（すでに計算で確認済み）
ので、

f(x,z+1,z+1)>f(x,z+2,z)

です。これはOKですか？

このときf(x,z+1,z+1)という値がf(x,z+2,z)
より大きいわけですからf(x,z+2,z)は最大値
にはなりません。

これはOKですか？

同様に、

y=z+3のときy-z≧2だからxをそのままにし、
yを1小さくzを1大きくすることによって与式
をより大きくできる（すでに計算で確認済み）
ので、

f(x,z+2,z+1)>f(x,z+3,z)

です。

このときf(x,z+2,z+1)という値がf(x,z+3,z)
より大きいわけですからf(x,z+3,z)は最大値
にはなりません。

・・・

y=z+25のときy-z≧2だからxをそのままにし、
yを1小さくzを1大きくすることによって与式
をより大きくできる（すでに計算で確認済み）
ので、

f(x,z+24,z+1)>f(x,z+25,z)

です。

このときf(x,z+24,z+1)という値がf(x,z+25,z)
より大きいわけですからf(x,z+25,z)は最大値
にはなりません。

同様に、

z=y+2のときz-y≧2だからxをそのままにし、
zを1小さくyを1大きくすることによって与式
をより大きくできる（すでに計算で確認済み）
ので、

f(x,y+1,y+1)>f(x,y,y+2)

です。

このときf(x,y+1,y+1)という値がf(x,y,y+2)
より大きいわけですからf(x,y,y+2)は最大値
にはなりません。

z=y+3のときz-y≧2だからxをそのままにし、
zを1小さくyを1大きくすることによって与式
をより大きくできる（すでに計算で確認済み）
ので、

f(x,y+1,y+2)>f(x,y,y+3)

です。

このときf(x,y+1,y+2)という値がf(x,y,y+3)
より大きいわけですからf(x,y,y+3)は最大値
にはなりません。

・・・

z=y+25のときz-y≧2だからxをそのままにし、
zを1小さくyを1大きくすることによって与式
をより大きくできる（すでに計算で確認済み）
ので、

f(x,y+1,y+24)>f(x,y,y+25)

です。

このときf(x,y+1,y+24)という値がf(x,y,y+25)
より大きいわけですからf(x,y,y+25)は最大値
にはなりません。

ここまで|y-z|≧2の場合について示しました。
|x-y|≧2の場合も|z-x|≧2の場合も全く同様
です。

ここまでOKですか？

上記のことから最大値があるとしたら
|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
でなければならないことがわかりました。

なぜかというと例えば|x-y|≦1でないとすると
|x-y|≧2になってしまいこのようなx,y（そし
てz）についてf(x,y,z)が最大値にならないこ
とを上で既に示してあるからです。

つまりこの後やるべきことは、
|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
のときにf(x,y,z)を最大にするx,y,zを見つけ
ることです。

ここまでOKですか？

仮にx,y,zのうちどれか一つでも7以下の数
があったとしましょう。たとえばx≦7。

|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
でなければならないのですから、
y≦8かつz≦8です。
このとき
x+y+z≦7+8+8=23
となります。つまりx+y+zは25になりえません。

同様にy≦7とするとx≦8かつz≦8であり
x+y+z≦7+8+8=23
となります。つまりx+y+zは25になりえません。

同様にz≦7とするとx≦8かつy≦8であり
x+y+z≦7+8+8=23
となります。つまりx+y+zは25になりえません。

というわけで、f(x,y,z)が最大になるとき
x,y,zの中に7以下の数は一つもないことになり
ます。

同様に、
仮にx,y,zのうちどれか一つでも10以上の数
があったとしましょう。たとえばx≧10。

|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
でなければならないのですから、
y≧9かつz≧9です。
このとき
x+y+z≧10+9+9=28
となります。つまりx+y+zは25になりえません。

同様にy≧10とするとx≧9かつz≧9であり
x+y+z≧10+9+9=28
となります。つまりx+y+zは25になりえません。

同様にz≧10とするとx≧9かつy≧9であり
x+y+z≧10+9+9=28
となります。つまりx+y+zは25になりえません。

というわけで、f(x,y,z)が最大になるとき
x,y,zの中に10以上の数は一つもないことになり
ます。

ここまでOKですか？

ここまでくればx,y,zはどれも8か9しか値を
とらないことがわかります。

あとはこの残った可能性を調べればいいです。
(x,y,z)=
(8,8,8),(8,8,9),(8,9,8),(9,8,8),(8,9,9),
(9,8,9),(9,9,8),(9,9,9)が候補。

ところが8+8+8=24,8+9+9=26,9+9+9=27なので
結局(8,8,9),(8,9,8),(9,8,8)の三通りしか
のこらなくなります。対称性からこの3つを
区別する必要はなく、組み合わせは{8,8,9}の
1通りです。

お礼

御返答有難うございます

補足

>この不等式が成り立つことは質問者さんとし
>てはOKなんですか？
Okです

>どれかせいぜい48通りしか可能性があり
>ません
48はどこから出てきたのですか？

>x,y,zについてf(x,y,z)は最大値
>をとるでしょうか？
分かりません

>f(x,z+1,z+1)>f(x,z+2,z)
>です。これはOKですか？
OKです

>f(x,z+2,z)は最大値
>にはなりません。
>これはOKですか？
OKです

>|y-z|≧2の場合について示しました。
>|x-y|≧2の場合も|z-x|≧2の場合も全く同様
>です。
>ここまでOKですか？
OKです

>|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
>でなければならないことがわかりました。
全部満たさないといけないんですか？

|x-y|≦1または|y-z|≦1または|z-x|≦1じゃだめですか？

>|x-y|≦1かつ|y-z|≦1かつ|z-x|≦1
>のときにf(x,y,z)を最大にするx,y,zを見つけ
>ることです。
>ここまでOKですか？
上に書いた疑問があるのでOkではないですね

>仮にx,y,zのうちどれか一つでも7以下の数
>があったとしましょう。
7っていうのはパッとすぐ思いついたのですか？何か根拠があって試してみようと思ったのですか？

ここが何故いきなり7で試してみようと思ったのか教えてください

>仮にx,y,zのうちどれか一つでも10以上の数
>があったとしましょう。たとえばx≧10。
ここも何故10で試してみようと思ったのですか、結果は分かりますが、何故10がパッと出てきたのかが分かりません

>x,y,zの中に10以上の数は一つもないことになり
>ます。
>ここまでOKですか？
結果は分かりますが、上にも書いたように何故10で試してみようということになったのかが分かりません

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>>３個の数字のうち、互いの差の絶対値が２以上のものがあれ
>>ば、それは最大ではない。
>何でこれはそう言えるのですか？

そうであれば ANO.8 の6パターンのどれかに当てはまるからです。

お礼

御返答有難うございます

補足

>ANO.8 の6パターンのどれかに当てはまるからです。
NO8では互いの差の絶対値が２以上のものがあってもう一つをそのままにしておけばより大きくなるという式だと思うのですが、何故最大になると分かるのですか？