数学問題（塩分濃度、中１）

質問

数学問題（塩分濃度、中１）
こんにちは。中１です。数学の塩分濃度の問題が解けません。
ご指導していただけたら有り難いです。
（１）、（２）はなんとか解けたと思いましたが、（３）はわかりません。
せめて（３）だけでも教えていただければありがたいです。
問題
容器Aには濃度不明の食塩水が６００ｇ、容器Bには１８％の食塩水（量は不明）が入っています。
いまAからBに２００ｇ移してかき混ぜたら、Bの濃度は１６％になりました。
さらに、BからAに２００ｇ戻し、Aに水を８０ｇ加えてかき混ぜたところ、Aの濃度は１０％になりました。
このとき以下の問に答えなさい。
（１）最後にできた１０％の食塩水には、何ｇの食塩が溶けているか？
（２）はじめ、Aには何％の食塩水が入っていたか？
（３）はじめ、Bには食塩水が何ｇ入っていたか？
以上です

回答No.6

ORUKA1951

No.4です。
それは失礼しました。確かに質問分にヒントは書かれていますが・・
　ちょっと言い回しが悪かった。　

　まず語られている事を理解するために、文章や会話を図や式に置き換えます。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
「容器Aには濃度不明の食塩水が６００ｇ、容器Bには１８％の食塩水（量は不明）が入っています。いまAからBに２００ｇ移してかき混ぜたら、Bの濃度は１６％になりました。
さらに、BからAに２００ｇ戻し、Aに水を８０ｇ加えてかき混ぜたところ、Aの濃度は１０％になりました。」
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
は
　(200x + 18y)/(200 + y) = 16　　　
　[16×200 + (600-200)x]/(600-200+200+80) = 10
ということ。すなわち
　200x +　2y = 3200
　400x　　　 = 3600

　すべては、ここから始めるのが順当な解き方です。
　ここになぜこだわるかと言うと、旅人算・鶴亀算・流水算・・などの算数(算術)だと、覚えておかなければならないテクニックが必要になります。「全体をツルと考えて」とか「２人の速さの差を速さと考えて」
　相当複雑な問題でもテクニックさえ知っておれば方程式を使うより早く結果が出るのが算術です。しかし、ツルと亀と案山子となるとお手上げ。
　確かに、「最後にできた１０％の食塩水には、何ｇの食塩が溶けているか？」は設問から簡単に出てきますが、それで終わってしまう。
　そうではなく、具体的な文章を抽象的な数式に置き換えるというのが、代数学を学ぶ目的なのですから。

　これは、私の実体験もあるからです。
　私は小学校時代、鶴亀算・旅人算・並木算・流水算・・などが本当に得意でした。そのために中学校一年の授業・・馬鹿にしていました。式を立てるより暗算で解く方が早い。
　しかし、上学年になるともはや算術では解けない問題が登場し始めると、どんどん数学の点数が下がっていきました。取り返すのに高校卒業近くまでかかってしまいました。高校一年では欠点まで取ってしまった。

　それで、まず文章を式にする---これから始めなさい。と言う趣旨でした。確かに式なんか作らなくても解けるので、まどろっこしいかもしれませんが、それでも式にする。

回答No.5

info222_

>（１）、（２）はなんとか解けたと思いましたが、（３）はわかりません。

(1),(2)が解けたのなら、補足に途中計算と答えを書いてもらえないですか。

(3)
はじめ、Bに入ってた食塩水の量を b g とすると
その中の食塩の量は 0.18b g, 水の量は(1-0.18)b g です。

(2)の答えから　はじめAに入っていた食塩水の濃度はa=9 %
これを使うと

　AからBに移した200 g の食塩水の中の食塩の量は　200*9/100=18 g
Aの食塩水200 g をBのb g に混ぜると16 % の食塩水 (200 +b) g ができることから

　(18b/100+ 18)/(b+200)=16/100

この式からbを求めればよい。
　18(b +100)/(b+200)=16
　9(b+100)=8(b+200)
　∴b=700 g

(（３）の答)　700 g

お礼

ありがとうございました。
アメショー猫さん（仮）。
＞「(1),(2)が解けたのなら、補足に途中計算と答えを書いてもらえないですか。」
⇒（１）についての私の考え方（式の趣旨）は、「解答NO４」の「お礼」に書いてありますので、あなたが注意深く「全てを読んでいる」ならば、あなたは見ることができたはずです。
（２）については「式」などという大層な考え方は私には無く、ただ「結果（６８０ｇ、１０％）からさかのぼっていった」ら、答えが出ただけです。だから書きませんでした。

回答No.4

ORUKA1951

できるだけ簡潔に説明します。
必要な知識:[溶質]/[溶液量] = [濃度]

(文章をそのまま式にする)--しっかり読んで、分かり難ければ図を描く
＞容器Aには濃度不明の食塩水が６００ｇ、容器Bには１８％の食塩水（量は不明）
　Aの濃度をx、Bの量をy
＞いまAからBに２００ｇ移してかき混ぜたら、Bの濃度は１６％になりました。
濃度の式から
　(200x + 18y)/(200 + y) = 16　　　
　 ^^食塩量^^　^^溶液量^^
＞さらに、B(16%)からAに２００ｇ戻し、Aに水を８０ｇ加えてかき混ぜたところ、Aの濃度は１０％になりました。
　[16×200 + (600-200)x]/(600-200+200+80) = 10
　^^^^^^^^^食塩量^^^^^^^　^^^溶液量^^^
　(3200 + 400x)/680 = 10

　　簡単にして連立方程式にすると
200x + 18y = 16(200 + y)
3200 + 400x = 6800

200x +　2y = 3200　　　　　　2で割る
400x　　　 = 3600　　　　　400で割る
　　連立方程式は下記の様に整理できます。(文に書かれていること)
100x +　 y = 1600　　　　下式を100倍して引く
　 x　　　 =　　9

　後は解くだけ!! xの答えは出ている。(^^)
　下の式を100倍した上の式から引くと!! 同じもの引くのだから=のまま

　　　y = 700　　　Bの量
x　　　 =　 9　　　Aの濃度

よって
(初期値) A:　9% 600g、B:18% 700g
(操作後) A: 10% 680g、B:16% 500g
★%は濃度の単位ですから、必要がない場合は0.01倍、1/100倍にする必要はない!!

（１）最後にできた１０％の食塩水には、何ｇの食塩が溶けているか？
　[溶液量]×[濃度] = 680×0.10 = 60g
（２）はじめ、Aには何％の食塩水が入っていたか？
　　9%
（３）はじめ、Bには食塩水が何ｇ入っていたか？
　 700g

＞（１）、（２）はなんとか解けたと思いましたが、（３）はわかりません。
　それはおかしいです。(3)が分からないと(1)(2)は分からないはずです。
　　君が苦手なのは、文章や会話から中身を読取ること

　文章をよく読んで、正確に式にする練習をしましょう。これは数学と言うより日本語の国語力の問題です。数学ではなく小説など絵のない文章をしっかり読まないと決して見につきません。(漫画やアニメや映画ではなく、文章だけの本をたくさん読まないと身につかない!!)
　この問題、方程式自体は、とっても簡単なものですね。何が足りないかと言われると読解力が足りない。それは読書からでないと身に付かない。

お礼

ありがとうございます。
但し、あなたの
＞「(3)が分からないと(1)(2)は分からないはずです」、
という発言は、納得できませんね。
なぜなら「（１）」は、「最後にできた１０％の食塩水」と問題文に書いてあるので、単純に「最後に出来た溶液の総量６８０ｇ」の「１０％」を計算すればいいのですから、これこそ「国語力（文章を注意深く読む）」で、解答にたどり着け、（２）（３）より単純で、より「文系」の問題だからです。
あなたは、私が「漫画やアニメや映画ばかり見ている（趣旨）」という「ステレオタイプ的な想像」で、ラベリングしているように感じました。
直接誤解を解くことはできないので、大変残念ですね。

回答No.3

noname#215361

ANo.2の訂正です。

上から13行目の「2x」は、「4x」の誤り。

お礼

了解しました。

回答No.2

noname#215361

容器Aの食塩水の濃度をx％とすると、その中に含まれている食塩の量は600*x/100=6xg
容器Bの食塩水の量をygとすると、その中に含まれている食塩の量はy*18/100=9y/25g
AからBに200ｇ移すと、その中に含まれている食塩の量は6x*200/600=2xg
この結果容器B全体の中に含まれている食塩の量は（2x+9y/25）g
これをXgとおく
容器B全体の食塩水の量は（y+200）ｇ
よって条件から次の関係が成り立つ
X/（y+200）=16/100-(1)
容器Aの中に残っていた食塩の量は6x-2x=4xg
容器Bから容器Aに200ｇ戻した際、その中に含まれている食塩の量はX/（y+200）ｇ
容器A全体の食塩の量は{2x+X*200/（y+200）}ｇ
よって条件から次の関係が成り立つ
{4x+X*200/（y+200）}/（600-200+200+80）={4x+200X/（y+200）}/680=10/100-(2)
(1)(2)からX/（y+200）を消去すると次のようになる
（4x+200*16/100）/680=10/100→x=9％
(1)においてX=2x+9y/25に戻してx=9を代入すると
{2*9+9y/25}/（y+200）=16/100→y=700g

(1)最後にできた10％の食塩水には、何ｇの食塩が溶けているか？
680*10/100=68ｇ

(2)はじめ、Aには何％の食塩水が入っていたか？
上のxだから9％

(3)）はじめ、Bには食塩水が何ｇ入っていたか？
上のyだから700g

お礼

朝のおいそがしいところお答えを頂き、感謝いたします。良い一日を。

回答No.1

asuncion

Aの濃度をa、Bの量をbとする。
Aの食塩の量は600aグラム、Bの食塩の量は0.18bグラム。

AからBに200グラム移した。200グラム中の食塩の量は200aグラム。
Aは400グラムになった。食塩の量は400aグラム。
Bは(b + 200)グラムになった。食塩の量は(200a + 0.18b)グラム。
濃度が16パーセントになったので、
(200a + 0.18b) / (b + 200) = 0.16 ... (1)

BからAに200グラム移した。200グラム中の食塩の量は32グラム。
Aの食塩の量は(400a + 32)グラム。
Aは600グラムになった。

Aに水を80グラム加えた。Aは680グラムになった。濃度は10パーセントになった。
食塩の量は68グラム。
Q1の答えは68グラム。

400a + 32 = 68であるから、
400a = 36
a = 0.09 = 9パーセント
Q2の答えは9パーセント

(1)にa = 0.09を代入する。
(18 + 0.18b) / (b + 200) = 0.16
18 + 0.18b = 0.16b + 32
0.02b = 14
b = 700
Q3の答えは700グラム

お礼

早朝よりお答えを頂き、ただただ感謝いたします。俗にいう「朝飯前」だったですか？