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微分積分のdy/dxの分割
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>高校の数学では、dy/dxやd/dxは一つの記号であると説明されてますが、 dy/dxはy=f(x)の微分係数の定義として、主変数xの微小変化Δxに対する従属変数yの微小変化Δyの比 の極限値として定義される。つまり dy/dx=lim(Δx→0)(Δy/Δx) という説明を聞いたことはありませんか。 工学では線形近似が多く用いられますが、その場合はdy,dxとΔy,Δxを区別する必要がありません。 一方、d/dxを演算子として完全に記号化して考える場合がありますが、ある物理量φに対して演算子d/dx を作用させた結果としてのdφ/dxはxの微小変化に対するφの変化量の比と考えても多くの場合困ることはありません。
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- teppou
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前野昌弘著 「度こそ納得する物理・数学再入門」 http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%8A%E5%BA%A6%E3%81%93%E3%81%9D%E7%B4%8D%E5%BE%97%E3%81%99%E3%82%8B%E7%89%A9%E7%90%86%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%86%8D%E5%85%A5%E9%96%80-%E8%AA%B0%E3%82%82%E3%81%8C%E7%AD%94%E3%81%88%E3%82%92%E7%9F%A5%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9FFAQ-%E7%9F%A5%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%84-%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9-%E5%89%8D%E9%87%8E/dp/4774142867 の最初の方に簡単な解説があります。立ち読みでもしてみてください。 かつて大学の数学の講師をしている方に同様の質問をしたことがありますが、大学の物理や工学で出てくる式の範囲であれば、分数的操作をしても支障はないが、数学上一般的に行えるわけではないとのことでした。
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回答ありがとうございます。 良さそうな本なので買ってみようと思います。
- windwald
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dy/dx は微分の原義を表していると考えましょう。 dy/dx=lim(Δx→0) Δy/Δx そう見ると、dyとは、xの微少な変化量dxに対するyの微少な変化量、といえます。 dyとdxは不可分ではありますが、原義のようにdy/dxとは分数と同じく考えることができます。 この見方は積分におけるdyやdxと同じです。 ∫2x dxとは、 f(x)=2xのグラフと、x軸方向の微少な幅dxとが作る微少な長方形の面積2xdxを合計するという作業になります。
お礼
回答ありがとうございます。 理解ができました。
- windwald
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たしかに dy/dx は一つの記号です。 ですが、何故このように書くのか、それは分数であるかのように扱えるからです。 たとえば dy/dx=2x であるとき、元のyを求めるには、両辺をdxでかけて dy=2x dx とし、両辺を積分します。 ∫ dy=∫2x dx より y + C1=x^2 + C2 定数項をまとめ(C=C2-C1 とすると) y=x^2 + C ところで、「しそく」は四則と漢字で書くべきです。 これを算用数字で書いてしまうのは、メジャーリーガーの「1ロー」とか、3寒4温とか、 7転び8起きとか、10中8、9とかそう言うのと同じです。
お礼
回答ありがとうございます。 >ですが、何故このように書くのか、それは分数であるかのように扱えるからです。 ここの分数であるかのように扱えるという部分が、今までどこの参考書にも 書いてありませんし、証明も見たことがありません。 しかもdy/dxは一つの記号で、dy÷dxではないと書いてあるのにそういう風に 使うのは納得ができないんですよね。 計算自体を理解するのは難しくないのですが・・・
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お礼
回答ありがとうございます。 理解ができました。