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微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません
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こんばんは。 ｄｙ／ｄｘ は、ある瞬間（ｘの微小変化）における、 ｘの変化量に対するｙの変化量の割合です。 たとえば、ｙ ＝ ｘ^2 という関数のグラフを例に取りますと、 ｘがａからａ＋２に変化するときの、ｘの変化に対するｙの変化の割合 ＝ （ｙ（ａ＋２）－ｙ（ａ））／（ａ＋２ － ａ） ＝ （（ａ＋２）^2 － ａ^2）／（ａ＋２ － ａ） ＝ （４ａ ＋ ４）／２ ＝ ２ａ ＋ ２ ｘの変化の幅を１つ減らせば、 ｘがａからａ＋１に変化するときの、ｘの変化に対するｙの変化の割合 ＝ （ｙ（ａ＋１）－ｙ（ａ））／（ａ＋１ － ａ） ＝ （（ａ＋１）^2 － ａ^2）／（ａ＋１ － ａ） ＝ ２ａ ＋ １ では、ｘの変化をさらに１つ減らした場合を考えます。 それは、ｘをａからａに変化させるということです。 ａがいかなる値であっても、ｙ＝ｘ^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、 傾きというのは、変化の割合と同じです。 ですから、答えがあるはずです。 そこで、上記と同じく、ｘ＝ａ における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、 （ｙ（ａ）－ｙ（ａ））／（ａ－ａ） ＝ ０／０ （＝不定） という、わけのわからない結果となってしまいます。 しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。 そこで、非常に小さい変化量を、ｄをつけた記号で表すことを考えます。 ｘの変化は、 ａ → ａ＋ｄｘ ｙの変化は、 ｙ（ａ） → ｙ（ａ＋ｄｘ） ｘの変化量は、ｄｘ （ ＝ ａ＋ｄｘ － ａ） ｙの変化量は、ｄｙ ＝ ｙ（ａ＋ｄｘ） － ｙ（ａ） です。 ｘ＝ａにおける、ｘの変化に対するｙの変化の割合 ＝（ｙ（ａ＋ｄｘ）－ｙ（ａ））／（ａ＋ｄｘ － ａ） ＝ （（ａ＋ｄｘ）^2 － ａ^2）／（ａ＋ｄｘ － ａ） ＝ （２ａｄｘ ＋ （ｄｘ）^2 ）／ｄｘ とすることができます。 分子に（ｄｘ）^2 がありますが、 ｄｘ自体が非常に小さい量ですので、（ｄｘ）^2 は、全く無視してよい量となります。 よって、 ｘ＝ａにおける、ｘの変化に対するｙの変化の割合 ＝ （２ａｄｘ ＋ （ｄｘ）^2 ）／ｄｘ ＝ ２ａｄｘ／ｄｘ ＝ ２ａ となります。 これで、ｘ＝ａ のときの ｄｙ／ｄｘ は、 ２ａ と表せることがわかりました。 ということは、いかなるｘの値についても、 ｄｙ／ｄｘ ＝ ２ｘ であるということです。 以上のことで、 ・ｘ^2 を微分したら ２ｘ になること ・ｄｙ／ｄｘ は、ｘの変化に対するｙの変化の割合 の意味がおわかりになったと思います。 そして、 たとえば、ｙ、ｔ、ｘ の３変数があって、 ある地点において、 ｔの変化量のｘの変化量に対する割合が４で、 ｙの変化量のｔの変化量に対する割合が３だとしましょう。 すると、ｘが１変化するのに対してｙは１２変化します。 ｄｔ／ｄｘ ＝ ４ ｄｙ／ｄｔ ＝ ３ ｄｙ／ｄｘ ＝ １２ ＝ ３ × ４ ＝ ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ なお、 高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。 素直に書けば、 １回微分は、ｄｙ／ｄｘ ２回微分は、ｄ（ｄｙ／ｄｘ）／ｄｘ ３回微分は、ｄ（ｄ（ｄｙ／ｄｘ）／ｄｘ）／ｄｘ ということになりますが、これでは見にくいので。 以上、ご参考になりましたら幸いです。
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- owata-www
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d^ny/dx^n →(d^n/dx^n)y = (d/dx)*(d/dx)*… = (d^n/dx^n) となります dt = t (i1) - t (i0) dx = x (i1) - x (i0) dy = y (i1) - y (i0) つまり変化分 ですから、 dy/dt×dt/dx＝ {y(i1)-y (i0)}/{t(i1)-t(i0)}×{t(i1)-t(i0)}/{x(i1)-x(i0)} ＝{y(i1)-y (i0)}/{x(i1)-x(i0)} ＝dy/dx となります
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