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留数の応用問題
transcendentalの回答
- transcendental
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(1) 積分路Cとして、原点を中心、半径R(>1)の上半円C1とx軸上の積分[ーR、R]からなる単一閉曲線をとる。 R→∞のとき、∫[C1]f(z)dz=0がいえるので、このとき、 ∫[-∞ to ∞]f(x)dx=2πi・Res(f(z)、e^(2πi/3)) となります。 (2)も同様です。(R>2) I=2πi・{Res(f(z)、2i)+Res(f(z)、i)} =2πi・{-1/(12i)+1/(6i)} ----------------------------- ※ |∫[C1]f(z)dz|≦∫[0 to pi]|iRe^(iφ)dφ/{(Re^(φ))^2+Re^(iφ)+1}|≦∫[0 to pi]Rdφ/{R^2-R-1}=2πR/{R^2-R-1}→0(R→∞)
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