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微分方程式
d^2x(t)/dt^2＋x(t)=2t ただし、x(0)=1 x'(0)=0 の一般解を教えてください。
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d^2x(t)/dt^2＋x(t)=2t (1) 一般解x(t)は同次微分方程式 d^2x(t)/dt^2＋x(t)=0 (2) の解xh(t)と元の微分方程式(1)の特殊解xs(t)の和 x(t)=xh(t)+xs(t) (3) として与えられる。(詳細は関連文献、サイト参照のこと) xh(t): (2)の特性方程式は p^2+1=0 p=±i(虚数単位) xh(t)=ae^(it)+ce^(-it) 又は三角関数を用いて xh(t)=ccos(t)+dsin(t) xs(t): (1)は解x(t)を加えて2tということなのでxs(t)は最大tの1次式 xs(t)=at+bを仮定し(1)に代入すると2階微分は0になるので at+b=2t a=2,b=0 よって xs(t)=2t (3)より一般解x(t)は x(t)=xh(t)+xs(t)=ae^(it)+ce^(-it)+2t 又は x(t)=ccos(t)+dsin(t)+2t
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