微分方程式

質問

d^2x(t)/dt^2＋x(t)=2t

ただし、x(0)=1 x'(0)=0

の一般解を教えてください。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

初期条件を見逃していました。

x(t)=ccos(t)+dsin(t)+2t

において

x(o)=c=1

x'(t)=-csin(t)+dcos(t)+2

x'(0)=d+2=0

d=-2

ゆえに

x(t)=cos(t)-2sin(t)+2t

回答No.3

transcendental

両辺をLaplace変換すると、
ｓ＾２・L｛ｘ｝－ｓ・ｘ（０）－ｘ’（０）＋L｛ｘ｝＝２/ｓ＾２、
これから、
L{ｘ｝＝２/ｓ＾２－２/（ｓ＾２＋１）＋ｓ/（ｓ＾２＋１）
となり、
ｘ（ｔ）＝２ｔ－２・sin（ｔ）＋cos（ｔ）
を得ます。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

spring135

d^2x(t)/dt^2＋x(t)=2t　　　(1)

一般解x(t)は同次微分方程式

d^2x(t)/dt^2＋x(t)=0 (2)

の解xh(t)と元の微分方程式(1)の特殊解xs(t)の和

x(t)=xh(t)+xs(t)　　　　　　　(3)

として与えられる。(詳細は関連文献、サイト参照のこと)

xh(t):

(2)の特性方程式は

p^2+1=0

p=±i(虚数単位)

xh(t)=ae^(it)+ce^(-it)

又は三角関数を用いて

xh(t)=ccos(t)+dsin(t)

xs(t):

(1)は解x(t)を加えて2tということなのでxs(t)は最大tの1次式

xs(t)=at+bを仮定し(1)に代入すると2階微分は0になるので

at+b=2t

a=2,b=0

よって

xs(t)=2t

(3)より一般解x(t)は

x(t)=xh(t)+xs(t)=ae^(it)+ce^(-it)+2t

又は

x(t)=ccos(t)+dsin(t)+2t

お礼

ありがとうございます