数学(解析学)について

質問

Q1.A1,A2,...が可測⇒∩_(n=1～∞)Anは可測 Q2. A1,A2,...が可測⇒limsup(An),liminf(An)は可測

これらの証明をできるだけ詳しく教えていただけませんか？
できるだけ早くおねがいします(´・ω・`)

回答No.1

Ae610

当方、「Lebesgue積分」は、まだ学習(独学)途上ではあるが解答してみる・・!

Anが可測ならば(An)^cも可測である。　（ここではAの補集合を(A)^cで表すことにする。）

Q1
題意よりA1,A2,・・・が可測であるので(A1)^c,(A2)^c,・・,(An)^c・・・も可測である。
よって
(A1)^c∪(A2)^c∪ ・・・∪(An)^c・・・
= ∪[n=1～∞](An)^c
は可測.
従ってドモルガン則によって
(∪[n=1～∞](An)^c)^c
=∩[n=1～∞]An
も可測である。

Q2
n≦kとするとQ1により
A[n]∪A[n+1]∪・・・∪A[k]・・・
=∪[k=n～∞]A[k]
は可測.
従って
∩[n=1～∞](∪[k=n～∞]A[k])
= limsup(A[n])
は可測である。

同様に、
A[n]∩A[n+1]∩・・・∩A[k]・・・
は可測.
従って
∪[n=1～∞](∩[k=n～∞]A[k])
= liminf(A[n])
は可測である。