微分方程式

質問

(p^3) -4xyp+8(y^2)=0　、{p=y'}　 という微分方程式が解けません

ラグランジュ型で解け。ということなのですが、どこらへんがラグランジュ型なのかすら解りません
よろしくお願いします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

(p^3)－4xyp＋8(y^2)=0　、{p = y'}

与式をxについて解いてみる・・!

x = p^2/4y＋2y/p・・(1)
(1)をyで微分してみる
dx/dy = 1/p = (p/2y－2y/p^2)・dp/dy＋(2/p－p^2/4y^2)
整理すると
(p^3－4y^2)/4py^2 = dp/dy・(p^3－4y^2)/2p^2y・・(2)
(2)より
dp/dy = p/2y・・(3)
(3)より
p = C(√y)
これをもとの式に代入してpを消去すれば
√y = (1/8)・(C^3－4Cx) (C:積分常数)

計算間違えとかあるかもしれないので検算してみて・・!

お礼

ご回答ありがとうございます。

(２)式で勝利を確信しましたが、一応、検算までした結果　ちゃんと符合いたしました！スッキリ！

ジャストな回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#221368

出された問題は、

　　(p^3) -4xyp+8(y^2)=0
　　p=y'

です。これはpとyという2つの未知関数に関する連立微分方程式です。こういう定式化を（たぶん）ハミルトン型と言いたいのかな？、と思いました。いわば速度と変位を一気に求めよう、というやり方です。

　一方、上記の関係から、pを消去する事も可能ですよね。

　　(y'^3) -4xyy'+8(y^2)=0

これをたぶん、ラグランジュ型と呼んでる気がします。つまり変位を先に求めて、微分して速度を、というやり方です。でも積分するのは、ちょっと厄介そう・・・(^^；)。

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かにｙとｐってまんま位置と運動量の方程式な感じですね
ただ、今回の問題と同時に出されてる問題が型どうりのひねりのない問題ばかりなので
何かちょちょっといじればラグランジュ（ダランベール）型に持ち込めるのかなぁと

積分とかはないんじゃないかなぁと思うのです

補足

↑あ　複雑な積分