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微分方程式の問題

次の微分方程式を解いてください。 p=dy/dxとする。 (1)y=2xp+yp^2 (2)y=p+√(1+p^2) よろしくお願いします。

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  • 回答No.5
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

A No.1 です。 先日示した解法による回答を書いておきます。 (1) y = 2xp + yp^2 の両辺に y を掛けると、 y^2 = 2xyp + (yp)^2. yp が目につきます。 ここで z = y^2 と置換すると、z' = 2yy' より z = xz' + (z'/2)^2. 二次方程式を解いて、z' + 2x = ±2√(z + x^2). w = z + x^2 で再度置換すると、 (w')(1/2)w^(-1/2) = ±1 と変数分離できて w^(1/2) = ±x + C (C は任意定数). 置換を復元して、y^2 = - x^2 + (±x + C)^2. 整理して、y = √(2Ax+A^2) または -√(2Ax+A^2). (A は ±C をまとめたもので、積分定数です) y の2階微分可能は、原式から導くこともできますが、 この解法では、示しておく必要がありません。 (2) y - p = √(1 + p^2) の両辺を二乗して、 y^2 - 2py = 1. ここで z = y^2 と置換すると、z' = 2yy' より z - z' = 1. これは変数分離形であり、z'/(z - 1) = 1 を積分して log(±(z - 1)) = x + C (C は任意定数). 置換を復元して、y^2 = 1 ± e^(x+C). 整理して、y = √(1 + A e^x) または -√(1 + A e^x). (A は、±e^C をまとめたもので、積分定数です)

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  • 回答No.4
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

ANo.3です。以下のように訂正お願いします。 >両辺にyを掛けて、 >y^2=2xpy+y^2p^2

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  • 回答No.3
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

p=dy/dxとする。 >(1)y=2xp+yp^2 z=y^2とすると、z'=dz/dx=2y(dy/dx)=2pyより、py=z'/2 両辺を2乗して、 y^2=2xpy+y^2p^2 z=xz'+z'^2/4 4z=4xz'+z'^2 ……(1) 両辺を微分して、 4z'=4z'+4xz''+2z'z''より、 2z''(2x+z')=0より、z''=0または、z'=-2x z''=0より、z'=C (1)に代入して、 4z=4xC+C^2 より、z=Cx+(C^2/4) よって、y^2=Cx+(C^2/4)(一般解) >(2)y=p+√(1+p^2) y-p=√(1+p^2) 両辺を2乗して、 (y-p)^2=1+p^2 y^2-2py+p^2=1+p^2より、 2py=y^2-1 2y(dy/dx)=y^2-1 {y/(y^2-1)}dy=(1/2)dx (1/2){(y^2-1)'/(y^2-1)}dy=(1/2)dxより、 {(y^2-1)'/(y^2-1)}dy=dx 両辺を積分して、 log|y^2-1|=x+C         =loge^x・e^C |y^2-1|=e^Ce^x y^2-1=±e^Ce^x ±e^C=Cとおくと、 y^2=Ce^x+1 になりました。

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  • 回答No.2
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)

(1);y^2 = 2Cx+C^2 (Cは積分常数) (2);log((y^2-1)/2) = x+C (Cは積分常数)

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  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

どちらも、z=(yの2乗) で置換すれば変数分離形になる問題。 (1) 両辺を y 倍してから、置換。 (2) √=… の形に変形して、両辺を二乗してから、置換。

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