- ベストアンサー
微分方程式の説き方を教えてください
微分方程式で y’=a*y^2+b*y+C という問題を解きたいのですが解き方が詳しく解説されているサイトを教えてください。 それと、このような微分方程式をなんと呼ぶのですか? 1階線形微分方程式? よろしくお願いします。
- nottisan012
- お礼率82% (19/23)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数5
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
数学問題集「考える葦」数学質問掲示板 にも投稿してみてはどうでしょうか。 URLは http://www2.ezbbs.net/34/eijitkn/ です。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>このような微分方程式をなんと呼ぶのですか? >1階線形微分方程式? 質問の微分方程式は1階非線形常微分方程式です。 左辺=0が異なる2実解を持つ時(b^2-4aC>0の時)は #2さんのように解けば良いですね。 >log((y-α)/(y-β))=a(α-β)x+C 絶対値をつけて log|(y-α)/(y-β)|=a(α-β)x+c' (元の微分方程式のCと区別するため任意定数をc'と書きました) ここで、α,β(<α)は「ay^2+by+C=0」の異なる2実解 左辺=0が重解αを持つ時(b^2-4aC=0の時)は y'/(y-α)^2=a -1/(y-α)=ax+c'(c'は任意定数) ∴y=α-1/(ax+c') (c'は任意定数) ここで α=-b/(2a) という解になります。 左辺=0が2虚数解を持つ時(b^2-4aC<0の時)は y'=a{(y-α)^2+ω^2} と書けるので y'/{(y-α)^2+ω^2}=a ∴tan^-1((y-α)/ω)/ω=ax+c'(c'は任意定数) yについて解けば ∴y=ωtan(ω(ax+c'))+α(c'は任意定数) ここで α=-b/(2a),ω=√(b^2-4ac)/(2a) 以上のようになるかと思います。
お礼
詳しく答えまで教えていただきありがとうございます。 1階非線形常微分方程式というのですか。 微分方程式の名前ってすごく長いものもあってややこしいですよね。
まあ気付けばなんていうこともないんだがね。 a*y^2+b*y+C=0となるyの解をα、βとおくと y'=a(y-α)(y-β) ⇔∫{(1/(y-α))-(1/(y-β))}dy=∫a(α-β)dx ⇔log((y-α)/(y-β))=a(α-β)x+C もうこれで分かるっしょ。
お礼
ヒントありがとうございます。
関連するQ&A
- 微分方程式について
微分方程式の問題について2つほど聞きたいことがあります。 (1)y''+y'-2y=10 (1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね? 定数係数2階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね? (2)S(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) S(x)が満たす1階の微分方程式を求めよ。 (2) 上記の微分方程式を解いてS(x)を求めよ。 という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。 どのように解いていけばよいのかよく分かりません。 色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 常微分方程式の問題
常微分方程式の問題でいくつか解けなかったところがあるので教えていただきたいです。 この章で扱っているのは 変数分離系・同時系・線形1階微分方程式・完全微分形・線形2階微分方程式(同次形)・線形2階微分方程式(非同次形) を扱っていました。 その内、一般解を求める以下の問題 (1)dy/dx=xe^-y (2)x(dy/dx)-y=1 (3)(2y-x^2)dx+(2x-y^2)dy=0 と 与えられた条件をそれぞれ満たす微分方程式の解を求める以下の問題 (1)dy/dx=y/x (x=1のときY-2) (5)y''+5y'+6y=0 (x=0のときy=0、y'=1) の問題が解くことができませんでした。 どなたか解法をわかりやすく教えていただけないでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式わかりません。だれか助けてください
すいません、宿題で微分方程式の問題をやっているのですが数学が苦手でわかりません。 教科書を見ながらやったりしているのですがところどころ飛ばされていて答えが求められません。 どなたか教えていただけませんか。 わからない問題なのですが、 ・1階、2階、3階の非線形微分方程式の例を1つづつあげよ ・y’=aの一般解を求めよ(aは定数) ・(1/D^-2D+3)e^4x の計算 ・(1/D^2+2D-3)e^x 計算 の4つですどなたかお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式 線形 非線形
前回の質問の続きです。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q7818206.html ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、 ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは 理解できました。ありがとうございます。 微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と 非線形微分方程式を以下に示します。 線形微分方程式 (1)y”+y’-2x=0 (2)y’+xy=1 (3)(x-1)y''-xy'+y=0 非線形微分方程式 (1)(y”)^2+y’-2x=0 (2)x(y”’)^3+y’=3 (3)y・y’+xy=1 上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか? 非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか? y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか? 線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの でしょうか? ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形2階微分方程式と非線形2階微分方程式の違いは?
数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。 (1)【線形2階微分方程式】 未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として d^2f(x)/dx^2=0 がある。 (2)【非線形2階微分方程式】 非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、 y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x) が非線形2階微分方程式ということでしょうか? (1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、 スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、 どうかご教授下さい。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
こんな便利なサイトがあることを知りませんでした。 ありがとうございます。