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複素数のn乗根が解けません
www01の回答
No.13です。何を困っているのか、やっとわかってきました。 とりあえず問題を以下のようにとらえますね。 問1.r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0) 問2.r^3(cos3θ+isin3θ)=1(cosπ/2+isinπ/2) について、それぞれの等式を満たすθはなにか。 問1の答え→θ=0,π/2,π,3π/2 問2の答え→θ=π/6,5π/6,3π/2 θのことですが、円を1周すると360度ですが、現代的な数学では360度という表示を用いずに2πを当てはめます。半径1の円周の長さは2πということを思い出してください。 90度=π/2,180度=π,270度=3π/2,360度=2π=0 です。ところで、1周(2π)すると同じところに戻ってきますから、 π/2=π/2+2π=π/2+4π=π/2+2kπ (k=1,2,…) で他の場合も同様です。 次に、 Z^n=1をド・モアブルの定理を用いて解け。 という問題ならば、 Z^n=1 →(cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ)) =1=(cos(2kπ)+isin(2kπ))を満たすθはn個ある。 そのθをθmと表記することにすると、cos(θm)+isin(θm)を求めよ。 という問題になります。 ●Z^4=1の解 4θ=2kπ → θ=0(=2π),π/2,π,3π/2 θ=3π/2の場合 cos(3π/2)+isin(3π/2) =0-i (3π/2は複素平面上で、第３象限と第４象限の間にある) ●Z^3=1の解 3θ=2kπ → θ=0,2π/3,4π/3 π/3=60度,2π/3=120度に注意する。 θ=4π/3の場合 cos(4π/3)+isin(4π/3) =-1/2-iΓ3/2 =-(1+iΓ3)/2 （4π/3は、複素平面上で第３象限にある。） スマホにルート記号が入ってなかったので、記号Γで代用しました。上の値を３乗すると、 (-(1+iΓ3)/2)^3=1 …携帯で打ってたら、全体が見えなくて合ってるのかわからんくなってきた。他の方々、ミスあったら修正お願いします(^_^;)
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お礼
感謝します！！！ やっと理解出来ました。 私の質問の仕方が悪かったのかもしれませんね... 本当にありがとうございました。 (ケータイで打っていただいていたなんて...)