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複素数のn乗根が解けません
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質問者さまの置かれている状況がよくわからないのですが、高校の授業での話なのでしょうか ド・モアブルの定理は理解できていて、その後に数(2kπ)が出てきてちんぷんかんぷんとあるので、オイラーの公式のほうは知らないと推測します。 オイラーの公式の特殊解は、 e^(iπ)=-1 で、これを変形すると、 e^(iπ)^2=e^(i2π)=1 ここで右辺は1=1^k (k=1,2,…)なので、 e^(i2kπ)=1 となり、複素平面上で半径1の円周上を何回でも動いていく様子をイメージしてみてください。 Z^n=1と、上式を比較すると、kがn乗根の部分に相当し、解は無数にあることもわかります。 そうなるのは、ふつうの実数の平面と違って、複素平面は球面(リーマン球面)と同等であることが現在では判明していて、複素数全体は"閉じている"ためです。 次に、質問者さまが理解できなかったという三角関数の等式ですが、オイラーの公式の一般解は、 e^(iθ)=cosθ+isinθ です。(証明は省略します) e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ) と書いても意味は同じです。これと、ド・モアブルの定理を見比べてみてください。 ところで、極形式で半径rは、 r=((a・cosθ)^2+(b・sinθ)^2)^(1/2) と表せるので、a=1,θ=0なら半径r=1です。 また、θが動いていくというのは、複素平面上では回転していって、θ=0からスタートすると、θ=2πで一周します。ですので、 cos0+isin0=cos(2π)+isin(2π) =cos(2kπ)+isin(2kπ) となります。 r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0) におけるθにどのような数を当てはめているのか、左辺の関数はどのようなものを想定しているのかわかりませんが、半径は1,θ=kπ/2だと仮定すると、 r^(4・k/2)・(cos4(kπ/2)+isin4(kπ/2)) =r^(2k)・(cos(2kπ)+isin(2kπ)) =1(cos0+isin0) となります。ちなみに、複素数どうしの乗法は、 Z1, Z1・Z2, Z1・Z2・…, とするたびに複素平面上では回転していき、各Zmの半径が、r<1なら半径は回転するごとに縮小し、1<rなら半径は回転するごとに拡大していきます。
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