積分ができないです。

質問

∫（上∞、下０）e^(-αt)sinhωtdt　　　　(α>|ω|)

さっぱりわかりません。
計算過程の画像つきだと大変助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞sinhxの定義はsinhx={e^x-e^(-x)}/2だから
ωt=xとおくとt=x/ω、dt=(1/ω)dx
t=0でx=0、t=∞でx=∞だから
∫[t=0→∞]e^(-αt)sinhωtdt
=(1/ω)∫[x=0→∞]e^(-αx/ω)sinhxdx
=(1/2ω)∫[x=0→∞]e^(-αx/ω){e^x-e^(-x)}dx
=(1/2ω)∫[x=0→∞]{e^(-αx/ω+x)-e^(-αx/ω-x)}dx
=(1/2ω)∫[x=0→∞]{e^{(ω-α)x/ω}dx
-(1/2ω)∫[x=0→∞]e^{(-α-ω)x/ω}dx
第一項で(ω-α)x/ω=yとおくと
x=ωy/(ω-α)、dx={ω/(ω-α)}dy
α＞|ω|からα＞ω＞0又はα＜ω＜0だから
x=0でy=0、x=∞でy=-∞、よって
(1/2ω)∫[x=0→∞]{e^{(ω-α)x/ω}dx
=(1/2ω)∫[y=0→-∞]e^y{ω/(ω-α)}dy
=1/{2(ω-α)}∫[y=0→-∞]e^ydy
=1/{2(ω-α)}(e^y)[y=0→-∞]
=1/{2(ω-α)}{e^(-∞)-e^0}=1/{2(α-ω)}・・・・・(1)
第二項で(-ω-α)x/ω=zとおくと
x=-zω/(ω+α)、dx=-{ω/(ω+α)}dz
α＞ω＞0又はα＜ω＜0だから
x=0でz=0、x=∞でz=-∞、よって
-(1/2ω)∫[x=0→∞]e^{(-α-ω)x/ω}dx
=1/{2(ω+α)}∫[z=0→-∞]e^zdz
=1/{2(ω+α)}(e^z)[z=0→-∞]
=1/{2(ω+α)}{e^(-∞)-e^0}=-1/{2(ω+α)}・・・・・(2)
(1)(2)から
∫[t=0→∞]e^(-αt)sinhωtdt
=1/{2(α-ω)}-1/{2(ω+α)}=ω/(α^2-ω^2)・・・答

お礼

できました。ありがとうございます。