積分のΣへの変換（指数積分？）方法教えてください。

質問

制御工学の教科書で以下の数式変換がありました。ご存知の方がいらっしゃいましたらどうしたら変換ができるのか、計算過程をご教示頂きたくお願いいたします。

{(1/T)^n/(n-1)!}∫{τ^(n-1)・e^(-τ/T)}dτ　積分範囲τ＝0→t

与式＝1-e^(-t/T)Σ{(t/T)^ν/ν!}　和の範囲ν=0→n-1

回答No.3

uzumakipan

＃１です。回りくどい説明をしてしまいました。すみません。私の説明で計算するよりも＃２さんが説明されていますように部分積分を使えば、すぐに答えを出すことができます。積分を基本に戻って考えることが抜けていました。

お礼

色々考えていただきありがとうございます。uzumakipanさんに考えていただいた方も大変興味が有りました。数学では回答を導き出す手法が１通りだけではないと思います。そういった意味で勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

PRFRD

ただの部分積分です．

簡単のため T = 1 でやります．T のままでも全く同様にできます．

問題の積分を
　F_n = 1/(n-1)! ∫[0,t] τ^{n-1} exp(-τ) dτ
と書くと，一度部分積分をすれば
　F_n = -t^{n-1}/(n-1)! exp(-t) + F_{n-1}
となって，同じ形の積分が現れます．これを部分積分ができなくなるところまで繰り返します．
　F_1 = ∫[0,t] exp(-τ) dτ = 1 - exp(-t)
であることに注意すると，F_n を n = 1 まで部分積分していけば
　F_n = -[t^{n-1}/(n-1)! + t^{n-2}/(n-2)! + ... + 1] exp(-t) + 1
となります．最初の [ ] をΣで書けば，目的の式になります．

お礼

ありがとうございます。簡単なところを見逃してました。Tをもとの形で計算したら式が導けました。ありがとうございます。

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。制御工学というものは知らないのですが、質問の積分についてアウトラインだけ説明したいと思います。

（１）e^x のテイラー展開　

　　　e^x = Σx^ν/ν!　和の範囲　ν=0 → ∞

　　　に x=-τ/T を代入する。

（２）（１）で代入した式に τ^(n-1) をかける。

（３）（２）の式を 0 から t まで積分する。ただし、e^xの収束半径は無限大なので無限級数は一様収束する。よって、∫とΣの順序交換ができる。実際の積分は∫とΣ を交換した式を項別積分することになる。

（４）（３）で項別積分した式に{(1/T)^n/(n-1)!}をかける。

（５）（４）で計算した式の一部分が、e^(-t/T) のテイラー展開となるように指数をそろえ、式を整理する。

とやれば答えにたどり着くと思います。私もさっきから計算しているのですが、1-e^(-t/T)Σ{(t/T)^ν/ν!}　に近い形は出てくるのですが、計算違いしているのか答えにたどりつけていません。質問者さんがお急ぎのようですので、私がわかる範囲で回答いたしました。

私は明日仕事があるので今日は就寝して、明日また計算しなおしてみます。