- ベストアンサー
難解な積分の問題
私は工学部の院生です。 次の定積分が解けなくて困っています。 ∫γsin(2nx)dx [積分範囲：0→π/2]（n：自然数） ただし、γは γ=Arccos((-3sinxcosx)/(1+3(cosx)^2)^0.5) である。（または,γは γ=Arcsin((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5) と表すこともできる） どなたかこの難解な積分を解いてください。完全に解けなくても、こうゆうふうにすれば出来るんじゃないか、というアドバイスだけでも結構です。よろしくお願いいたします。
- ichiro0000
- お礼率46% (44/94)
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
下記URLの人と同じ人？
関連するQ&A
- 積分の問題です。
積分の問題です。 下では積分区間をaからbなら∫[a,b]、絶対値を|a|、累乗をa^xとしています。 見辛くて申し訳ないです。 問 lim[n→∞]∫[0,π]ｘ^2|sin(nx)|dxを求めよ 私の解答を書くので、どこが間違っていてるのか、どうすべき教えてもらえないでしょうか？ 解) nx＝kπとなるとき、|sin(nx)|＝０ ∴X(k)＝kπ/n (k＝1,2,…,n)とすると、 ∫[0,π]x^2|sin(nx)|dx ＝Σ[k＝1,n]∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx と表せる ここで、X(k-1)≦X≦X(k)において、 {X(k-1)}^2≦X^2≦{X(k)}^2 より、各辺に|sin(nx)|をかけて {X(k-1)}^2|sin(nx)|≦X^2|sin(nx)|≦{X(k)}^2|sin(nx)| また、|sin(nx)|の周期性より、 ∫[X(k-1),X(k)]|sin(nx)|dx ＝∫[0,π/n]sin(nx)dx ＝[0,π][-cos(nx)/n] ＝2/n さらに、ここでy＝|sin(nx)|x^2 のグラフを考えて 面積で不等式を作ります。 本来は図示していますが、ここでは式のみを書きます。 {π{X(k-1)}^2}/n ＜∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx ＜{π{X(k)}^2}/n ∴Σ[k＝1,n-1]{π{X(k-1)}^2}/n ＜Σ[k＝1,n]∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx ＜Σ[k＝1,n]{π{X(k)}^2}/n 上の不等式の左側を計算すると、 {(1-1/n)(1+1/n+1/n^2)π^3}/3 nを∞に飛ばすと (π^3)/3 右側も同じになるので(実際は計算していますが省略します) はさみうちの原理より (与式)＝(π^3)/3 これが私の解答なのですが、実際は(2π^2)/3になるのです。 どうかよろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分の問題
不定積分の問題です。ｍを自然数とするとき、 ｎ (1)∫(cosx)^(2m-1)dx＝Σa(k)(sinx)^k+C k=1 (Cは積分定数） （a(k)のｋは添え字です。） を満たす自然数ｎおよび実数a(k)（k=1,2,…,n)を求めよ。 (2)f(t)を多項式とするとき、 ∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx＝g(sinx)+C (Cは積分定数） を満たす多項式ｇ(t)が存在することを示せ。 という問題です。 （１）はｎ＝２ｍ－１ a(k)＝０（ｋ＝2.4.…ｎ－１） （ｋ＝1,3,…ｎ）のときは式が複雑なので記載するのは控えます。 分からないのは（２）で解答には ｎ f(t)＝Σb(k)t^k とおけるので、ｎ＝２L－１とおくと k=0 L f(t)-f(-ｔ）=Σ２ｂ(2m-1)t^(2m-1) m=1 となっているんですが、なぜ ｎ＝２L－１とおくのか、f(t)-f(-ｔ）の右辺のΣのｍが１→L なのかがわかりません。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分について
∫sin^2(x)cos(nx)dx n=0,1,2,3・・・ ∫sin^2(x)cos(nx)dx n=0,1,2,3・・・ 積分区間は0～2π という問題なのですが、どうやったらいいかまったくわかりません。 よかったら指針などでもよいのでご教授お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ガウス積分２
昨日も質問したのですが、進展があったので改めて質問させていただきます。 範囲が以下 [k,∞) (k>0) になるガウス積分を求めようと思い、次のように計算してみました。 I = ∫exp(-ax^2)dx I^2 = ∬rexp(-ar^2)drdθ ここまでは定石どおりです。 積分範囲は、x>k y>k の領域になるので、 r>k arccos(k/r)>θ>arcsin(k/r) よって、 I^2 = ∫[k→∞]rexp(-ar^2)dr ∫[arccos(k/r)→arcsin(k/r)]dθ = ∫r{ arccos(k/r)-arcsin(k/r) }exp(-ar^2)dr 部分積分してまとめる。 = (-1/4a){ πexp(-ak^2) + 4∫[k→∞] exp(-ar^2)dr/√(1-r^2) } もう一息で計算できそうなのですが、最後の積分方法が思いつきません。分かる方居りましたら、宜しくお願いします。 又、工科系で数学には疎いので、計算ミスなのどのお叱りも是非お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題です。教えてください。
積分の問題です。教えてください。 ∫(x+2)e^(x^2+4x)dx ∫(cos^3xsinx+sin^2xcosx)dx ∫x^2(cosx+e^x)dx よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
違います。