ラプラス変換の積分法則について

質問

タイトルの通りなんですが、
∫[0～t] {e^(-t)f(t)'}dt
(※[　]内は積分範囲)
このラプラス変換について、解き方を教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.2

info22_

f(t) (t≧0)のラプラス変換をF(s)とおき、
紛らわしいので積分変数をuに置き換えます。

g(t)=∫[0～t] {e^(-u)f '(u)}du (t≧0) とおくと

g(t)=[e^(-u)f (u)][0～t]+∫[0～t] f(u)e^(-u)du
=e^(-t)f (t)-f(0)+∫[0～t] f(u)e^(-u)du

g(t)のラプラス変換G(s)は

G(s)=∫[0～∞] f (t) e^(-(1+s)t) dt -f(0)/s
+∫[0～∞] e^(-st)∫[0～t] f(u)e^(-u)du dt
=F(s+1) -f(0)/s
+[-(1/s)e^(-st)∫[0～t] f(u)e^(-u)du][0～∞]
+(1/s)∫[0～∞] f(t)e^(-t)e^(-st)dt
=F(s+1) -f(0)/s
+(1/s)∫[0～∞] f(t)e^(-(s+1)t)dt
=F(s+1)-(1/s)f(0)+(1/s)F(s+1)
=(1/s){(s+1)F(s+1)-f(0)} ...(★) ←　求めるラプラス変換です。

[確認] f(t)=sin(t) (t≧0)とおくと
f'(t)=cos(t),F(s)=1/(1+s^2)
g(t)=∫[0～t] f'(u)e^(-u)du=∫[0～t]cos(u)e^(-u)du
=(1/2)+(1/2)(sin(t)-cos(t))exp(-t) (t≧0)
G(s)=(1/2)(1/s)-(1/2)s/{(s+1)^2+1}
=(s+1)/{s(s^2+2s+2)}

(★)の式を適用すると
G(s)=(1/s)[(s+1)/{(s+1)^2+1} -0]
=(s+1)/{s(s^2+2s+2)}
となって一致することが確認できます。

f(t)を色々変えても一致しますので(★)の式が正しいことが確認できています。

回答No.1

wkouw1082

おそらく，
∫[0～t] {e^(-u)f(u)}du
のラプラス変換がしたいということですよね？
(積分の中にtが入っているのは変なので)

これなら，
参考URLの 3.3 に書いてある通り，
e^(-u)f(u)
のラプラス変換を計算して1/s倍すればOKです．
参考URLに証明も載っていますが，
∫[0～t] {e^(-u)f(u)}du
をtの関数と捉えて部分積分するだけです．

なお，
e^(-u)f(u)
のラプラス変換も 3.4 に書いてあるように，
F(s) を f(t) のラプラス変換とすると，
F(s+1)
になります．

まとめると，以下のようになりますね．

L[∫[0～t] {e^(-u)f(u)}du]
= L[ e^(-t)f(t) ]/s
= F(s+1)/s

参考URL：

http://wkouw.web.fc2.com/WATAPEDIA_math/Word_laplacehenkan/laplacehenkan.html