複素関数の積分

質問

(1)C:0から2+iに至る曲線
∫[c](z^2-iz+2)dz

(2)C:πから2πiに至る曲線
∫[c]ze^(-z)dz

この2問がどうしても解けないです

解説をお願いします

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

No.1です。(2)を含めて再回答します。
(1)C:0から2+iに至る曲線
∫[c](z^2-iz+2)dz
＞点(0,0)と点(2,i)を結ぶ直線をCとすると、
C上の点はz=t+i(t/2)(0≦t≦2)
dz/dt=1+i(1/2)
(z^2-iz+2)={t+i(t/2)}^2-i(t+i(t/2))+2
=(3/4)t^2+(1/2)t+2+i(t^2-t)だから
∫[c](z^2-iz+2)dz
=∫[t=0→2]{(3/4)t^2+(1/2)t+2+i(t^2-t)}{1+i(1/2)}dt
=∫[t=0→2][{(1/4)+i(11/8)}t^2+{1-i(3/4)}t+2+i]dt
=20/3+i(25/6)・・・答
(2)C:πから2πiに至る曲線
∫[c]ze^(-z)dz
＞e^(-z)=wとおき、自然対数をlnとすると、
z=-lnw、ze^(-z)=-wlnw
dw/dz=-e^(-z)=-w、dz=(-1/w)dw
z=πでw=e^(-π)、z=2πiでw=e^(-2πi)
よって、
∫[c]ze^(-z)dz=∫[w=e^(-π)→e^(-2πi)](-wlnw)(-1/w)dw
=∫[w=e^(-π)→e^(-2πi)]lnwdw
=(wlnw-w)[w=e^(-π)→e^(-2πi)]
=e^(-2πi)lne^(-2πi)-e^(-2πi)-e^(-π)lne^(-π)+e^(-π)
=(1+π)e^(-π)-1-2πi・・・答

回答No.2

info222_

(1)C:0から2+iに至る曲線
積分経路CをC1+C2の二つに分けて
　[C:z=0→2+i]=[C1:z=0→2]+[C2:z=2→2+i]
とすると
　I=∫[C](z^2-iz+2)dz=∫[C1](z^2-iz+2)dz+∫[C2](z^2-iz+2)dz

[C1]では　z=x, dz=dx, z:0→2⇒x:0→2　であるから
　I1=∫[C1](z^2-iz+2)dz=∫[0→2] (x^2-ix+2)dx
　　=∫[0→2] (x^2+2)dx-i∫[0→2] xdx
　　=[x^3/3+2x][0→2]-i [x^2/2][0→2]
　　=(8/3)+4-i 2
　　=(20/3)-i 2

[C2]では　z=2+i y, dz=i dy, z:2→2+i⇒y:0→1　であるから
　I2=∫[C2] (z^2-iz+2)dz=∫[0→1] ((2+iy)^2-i(2+iy)+2) idy
　　=∫[0→1] (4+i4y-y^2-i2+y+2) idy
　　=∫[0→1] (-4y+2)dy+i∫[0→1] (6-y^2+y)dy
　　=[-2y^2+2y][0→1]+i [6y-y^3/3+y^2/2][0→1]
　　=i (37/6)
したがって
　I =I1+I2=(20/3)-i 2+i (37/6)
　　=(20/3)+i (25/6) …（答）

(2)C:πから2πiに至る曲線
I=∫[C]ze^(-z)dz
　=∫[C1:z=π→0] ze^(-z)dz+∫[C2:z=0→i2π] ze^(-z)dz

C1：z=x, x：π→0, dz=dx
I1=∫[C1:z=π→0] ze^(-z)dz
　=∫[π→0] xe^(-x) dx
部分積分をすれば
　=[-xe^(-x)][π→0]+∫[π→0] e^(-x)dx
　= πe^(-π)+[-e^(-x)][π→0]=πe^(-π)-1+e^(-π)
　=((π+1)/e^π)-1

C2：z=iy, y：0→2π, dz=i dy
I2=∫[C2:z=0→i2π] ze^(-z)dz
　=∫[0→2π] i y e^(-i y) i dy
　=-∫[0→2π] y e^(-i y) dy
部分積分をすれば
　=-[-i ye^(-i y)][0→2π]-i∫[0→2π]e^(-i y) dy
　= i 2πe^(-i 2π)-i [-i e^(-i y)][0→2π]
　= i 2πe^(-i 2π)-e^(-i 2π)+1
　= i 2π-1+1=i 2π
まとめて
I=I1+I2=((π+1)/e^π)-1 +i 2π …（答）

回答No.1

yyssaa

＞取り敢えず(1)について
点(0,0)と点(2,i)を結ぶ直線をCとすると、
C上の点はz=t+i(t/2)(0≦t≦2)
dz/dt=1+i(1/2)
(z^2-iz+2)={t+i(t/2)}^2-i(t+i(t/2))+2
=(3/4)t^2+(1/2)t+2+i(t^2-t)だから
∫[c](z^2-iz+2)dz
=∫[t=0→2]{(3/4)t^2+(1/2)t+2+i(t^2-t)}{1+i(1/2)}dt
=∫[t=0→2][{(1/4)+i(11/8)}t^2+{1-i(3/4)}t+2+i]dt
=20/3+i(25/6)・・・答