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正八面体と球
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球面x^2+y^2+z^2=a^2の内部にある円柱x^2+y^2=axの部分の体積Vを求めよ 以上の問題に対して僕の解答は z=√(a^2-x^2-y^2) D=x^2+y^2<=ax 極座標変換によりx=rcosθ y=rsinθ とするとE={0<=r<=acosθ -π/2<=θ<=π/2 よって体積Vを求める式は ∫( -π/2→π/2)dθ∫(0→acosθ )√(a^2-r^2)・rdr 置換積分によりr^2=tと置く 2rdr=dt 0<=r<=acosθ <=> 0<=t<=a^2cos^2θ するとVの式は (1/2)∫( -π/2→π/2)dθ∫(0→a^2cos^2θ )√(a^2-t)dt =(1/2)∫( -π/2→π/2)[-(2/3)(a^2-t)^(3/2)](0→a^2cos^2θ )dθ =(1/2)∫( -π/2→π/2){-(2/3)(a^3-a^3cos^3θ+(2/3)(a^3) }dθ =(1/3)(a^3)∫( -π/2→π/2)(cos^3θ)dθ =(1/3)(a^3)∫( -π/2→π/2)cosθ(1-sin^2θ)dθ sinθ=uと置くと、cosθdθ=du、-1<=u<=1 (1/3)(a^3)∫(-1<=u<=1 )(1-u^2)dθ =(1/3)(a^3)[u-(1/3)u^3](-1<=u<=1) = 4/9a^3 だったのですがまるで違っていました。 参考書の解答は 求める体積はx>=0 y>=0 z>=0の4倍なので V=4∬(D)√(a^2-x^2-y^2)dxdy 極座標変換により0<=r<=acosθ rsinθ>=0 rcosθ>=0より0<=θ<=π/2 V=4∫(0→π/2)dθ∫(0→acosθ)√(a^2-r^2)・rdr =4∫(0→π/2)[(-2/3)(1/2)(a^2-r^2)^(3/2)](0→acosθ)dθ =(4/3a^3)∫(0→π/2)(1-sin^3θ)dθ=(4/3a^3){π/2-∫(0→π/2)sin^3θdθ} V=(4/3a^3)(π/2-2/3) とあったのですが自分の解答が何故間違ってるのかすらもわからないというのが正直なところです。 間違いの理由を指摘して頂きたいです。
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