速度と加速度の問題

質問

点Ｐの位置ベクトルRが、θをパラメータとして
R=(Lsinθ,Lsin2θ)という式から与えられるとする。
(L:定数)時間とともにθ=θ(t)は単調増加するが、
どんな関数か分からない。

(a)Ｐの速度ベクトルを計算し、速さvと単位接線ベクトルTを求めよ。

速度ベクトルVとして
V=(Lθ'cosθ,2Lθ'cos2θ) ':時間微分
ここまで求めたんですが、
速さの計算でつまずいて、分かりませんでした。
速さと単位接線ベクトルはどのようか教えてください。

(c)Ｐの加速度ベクトルを求めよ

加速度ベクトルAとして
A=(Lθ''cosθ-Lθ'^2sinθ, 2Lθ''cosθ-4Lθ'^2sinθ)
となりました。これをまた変形しなければ
ならないと思うのですが、それが分かりません。

(c)加速度ベクトルを、単位接線ベクトルと単位法線ベクトルの
線形結合で表せ。

この問題は全く分かりません。

これらの問題を教えてください。お願いします

回答No.1

sanori

(a)速さ

速さは速度ベクトルの絶対値なので、
√（ｘ成分の２乗＋ｙ成分の２乗）
で良いですよ。

(a)の２　単位接線ベクトル

速度ベクトルの２成分をそれぞれ絶対値（速さ）で割ればよいですよ。

(b)加速度ベクトル
やはり、(a)のときと同じ考え方でよいですよ。

(c)加速度ベクトルを単位接線ベクトルと単位法線ベクトルの線形結合で表す

単位接線ベクトルは、(a)の２と同様です。
単位法線ベクトルは、単位接線ベクトルとの内積がゼロになるような単位ベクトル。
具体的な例では、
たとえば、単位接線ベクトルが
（(√2)/2, -(√2)/2))
であるとすると、
単位法線ベクトル(a,b)は、
a×√2)/2 ＋ b×(-(√2)/2)) = 0
かつ
√(a^2 + b^2) = 0
です。

あとは、
定数その１×単位接線ベクトル　＋　定数その２×単位法線ベクトル
になるように、つじつま合わせをします。

お礼

ありがとうございました！！