- ベストアンサー
直交座標と極座標について
直交座標と極座標の関係は x=rcosθ y=rsinθとなり x'=Vcosθ=r'cosθ-rθ'sinθ (1) y'=Vsinθ=r'sinθ+rθ'cosθ (2) (Vは系の速度) で(1)×cosθ+(2)×sinθ をやるとrθ'の項が消えてVがで求まるはずなんですけど V=r'となりrω(rθ')になりませんよね。なぜですか? 動径の運動方程式と出すときは上と同じやり方で、(cos^2θ+sin^2θ=1を利用して)式が導出されていたのですが、何故Vを出すときは使えないのでしょうか?教えてください!
- levino
- お礼率45% (186/412)
- 物理学
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1#2さんご指摘の通りですが、 x'=Vcosθ y'=Vsinθ の時点で、すでに間違われているようです。 上記定義では、 「V」は、「単位時間当たりに原点からどれだけ遠ざかるか」というスカラーになりますので、 原点からの距離(これもスカラー)を表すrの微分r’がVと一致するのは当然ということになります。 なお、rが定数、すなわち回転運動であれば、 x' = -rθ'sinθ (1) y' = rθ'cosθ (2) ですから、 回転速さV(スカラー)は V^2 = x’^2+y’^2 = (rθ’)^2 となり、ご期待通りの結果になります。
その他の回答 (2)
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
#1です。質問の趣旨を誤解しておりました。すいません。 >Vcosθ=r'cosθ-rθ'sinθ (1) >Vsinθ=r'sinθ+rθ'cosθ (2) で(1)×cosθ+(2)×sinθを計算すると、左辺がVになるはず。でもならないのは何故?という事だったんですね^^; 何故そうならないのかというと、 θというのは、ベクトルr→とx軸(の正の方向)がなす角です。 r→とV→は平行とは限らないので、一般にはベクトルV→とx軸(の正の方向)がなす角はθではありません。 だから、V→のx,y方向の成分はVcosθ,Vsinθではありません。 つまり、x'≠Vcosθ,y'≠Vsinθです。 (V→とx軸のなす角がθであれば、動径方向にしか動いていない(θ'=0)、という事なので、V=r'となるのは当然といえば当然だったわけです)
お礼
そのとおりです。完全に勘違いしていましたね。 ありがとうございました!
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
>V=r'となりrω(rθ')になりませんよね。なぜですか? r'は速度の動径方向(r方向)の成分、rθ'は速度のθ方向の成分です。 (1)×(-sinθ)+(2)×(cosθ) を計算すれば、rθ'となります。
関連するQ&A
- 極座標と直交座標
「極座標で表したときの(r,θ)=(√5+1,Π/10)なる点を直交座標(x,y)であらわせ。ただし、cos,sin,tanなどの三角関数記号を用いずにあらわすこと」という問題です。 がんばって解いてみました。 x=rcosθ,y=rsinθより、 x=(√5+1)cos(Π/10),y=(√5+1)sin(Π/10) ここでsin(Π/10)=(√5-1)/4 なので(計算済み) y=1 さらにcos(Π/10)=)=√(10+2√5)なので(これも計算済み) x=5√2+√(10√5)+√(10+2√5) ???? yはともかく、xはこんな変な値になってしまってよいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 極座標系における∇×Aの計算
直交座標系(x,y,z)を極座標系(r,θ,ψ)に変換すると x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ となりますよね。 これを用いて極座標系で∇×Aを計算すると、 その演算結果は以下のようになるらしいのですが、 その導出過程が分かりません。最初の 1/r^2sinθはヤコビアンで補正をかけているような 気がするのですが、その他の項には1/rsinθや1/rが 出てきてこれらが何を表しているのかさっぱり?で、 やっぱり分かりません。宜しければ教えていただけないでしょうか?(第1行目の(^r),(^θ),(^ψ)はそれぞれの 方向の単位ベクトルです。)お願いいたします。 ∇×A= |(^r)/r^2sinθ (^θ)/rsinθ (^ψ)/r | | ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂ψ | | A_r rA_θ rsinθA_ψ |
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 座標変換式についてです。
x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ r^2=x^2+y^2+z^2 これより、 ∂^2/∂x^2 +∂^2/∂y^2 +∂^2/∂z^2 の座標変換式を求めたいのですがどのようにして求めれば良いですか?導出方法お願いします。
- 締切済み
- 物理学
- ラプラシアンの極座標表示について
化学系の学部にいるので数学は不得意なのですが,誰か教えて下さい。 ラプラシアンを2次元直交座標から2次元極座標に変換する場合 直交座標(x,y),極座標(r,θ)とすると, x=rcosθ,y=rsinθ・・・(1)からδ/δx,δ/δyを求める時,参考書によると r^2=x^2+y^2,tanθ=y/x・・・(2) δ/δx=(δ/δr)(δr/δx)+(δ/δθ)(δθ/δx) δ/δy=(δ/δr)(δr/δy)+(δ/δθ)(δθ/δy)・・・(3) (2)をxで微分すると 2r(δr/δx)=2x=2rsinθ (1/(cosθ)^2)(δθ/δx)=-(y/x^2)=-(sinθ/r(cosθ)^2) より δr/δx=cosθ,δθ/δx=-(1/r)sinθ 同様に δr/δy=sinθ,δθ/δy=(1/r)cosθ 以上の関係を(3)に入れれば, δ/δx=cosθ(δ/δr)-(1/r)sinθ(δ/δθ) δ/δy=sinθ(δ/δr)+(1/r)cosθ(δ/δθ)となります。 これで,合っていいるのですが,初めて,私がこの問題を考えた時, (1)をそれぞれ,rとθで偏微分しました。 δr/δx=1/cosθ,δθ/δx=-(1/rsinθ) δr/δy=1/sinθ,δθ/δx=(1/rcosθ)となりsinθ,cosθの項が 正解と逆転してしまい,異なる結果となってしまいました。 私は,どちらの方法でも同じになると思っていたのですが, どうして,違うのですか誰か分かりやすく教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標による重積分の範囲の取りかた
∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy D:(x^2 + y^2 <= π^2) を極座標でに変換して求めよ。 という問題で、 x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、 rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。 x^2+y^2 = (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2 = r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2} = r^2< = π^2 とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか? rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二つのΓ関数Γ(p)、Γ(q)の積について
Γ(p)Γ(q)=4∫[0→∞]∫[0→∞]e^(-x^2-y^2)・x^(2p-1)y^(2q-1)dxdy において、 x=rcosθ, y=rsinθ と置いて直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に移れば、 Γ(p)Γ(q)=4∫[0→∞]∫[0→Π/2]e^(-r^2)・r^(2p+2q-2)cos^(2p-1)θ・sin^(2q-1)θ・rdθdr となるのですが、 rdθdrの導き方が分かりません。 dx=drcosθ-rsinθdθ, dy=drsinθ+rcosθdθ を用いてみるのですが上手く行きません。 rdθdrの導出方法を詳しく教えて頂けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
勘違いしてました!スッキリしました。ご指摘ありがとうございました!